第四章数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，
，…数列分有穷数列和无穷数列两种，数列a
的一般形式通常记作a1a2a3…，a
或a1a2a3…，a
…。其中a1叫做数列的首项，a
是关于
的具体表达式，称为数列的通项。定理1若S
表示a
的前
项和，则S1a1当
1时，a
S
S
1定义2等差数列，如果对任意的正整数
，都有a
1a
d（常数），则a
称为等差数列，d叫做公差。若三个数abc成等差数列，即2bac，则称b为a和c的等差中项，若公差为d则abdcbd定理2等差数列的性质：1）通项公式a
a1
1d；2）前
项和公式：S

a1a

1
a1d；a
am
md，3）其中
m为正整数；若
mpq，4）22
则a
amapaq；5）对任意正整数pq，恒有apaqpqa2a1；6）若A，B至少有一个不为零，则a
是等差数列的充要条件是S
A
2B
定义3等比数列，若对任意的正整数
，都有比。定理3等比数列的性质：1）a
a1q
1；2）前
项和S
，当q≠1时，S

a
1q，则a
称为等比数列，q叫做公a

q1时，S
a1；3）如果abc成等比数列，即b2acb≠0，则b叫做ac的等比中项；4）若m
pq，则ama
apaq。定义4极限，给定数列a
和实数A，若对任意的ε0，存在M，对任意的
M
∈N都有a
Aε，则称A为
→∞时数列a
的极限，记作lima
A
→∞
a11q
；当1q
定义5无穷递缩等比数列，若等比数列a
的公比q满足q1，则称之为无穷递增等比数列，其前
项和S
的极限（即其所有项的和）为
a1（由极限的定义可得）。1q
（2）当p
时
k成立时能定理3第一数学归纳法：给定命题p
，若：（1）p
0成立；推出p
对
k1成立，则由（1）（2）可得命题p
对一切自然数
≥
0成立。，竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题p
，若：（1）p
0成立；（2）当p
对一切
≤k的自，然数
都成立时（k≥
0）可推出pk1成立，则由（1）（2）可得命题p
对一切自然数
≥
0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列x
ax
1bx
2，设它的特征方程x2axb的两个根为αβ1若α≠β，则x
c1a
1c2β
1，其中c1c2由初始条件x1x2的值确定；2若αβ，则x
c1
c2α
1，其中c1c2的值由x1x2的值确定。二、方法与例题1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的r