第四章数列一、基础知识定义1数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,
,…数列分有穷数列和无穷数列两种,数列a
的一般形式通常记作a1a2a3…,a
或a1a2a3…,a
…。其中a1叫做数列的首项,a
是关于
的具体表达式,称为数列的通项。定理1若S
表示a
的前
项和,则S1a1当
1时,a
S
S
1定义2等差数列,如果对任意的正整数
,都有a
1a
d(常数),则a
称为等差数列,d叫做公差。若三个数abc成等差数列,即2bac,则称b为a和c的等差中项,若公差为d则abdcbd定理2等差数列的性质:1)通项公式a
a1
1d;2)前
项和公式:S
a1a
1
a1d;a
am
md,3)其中
m为正整数;若
mpq,4)22
则a
amapaq;5)对任意正整数pq,恒有apaqpqa2a1;6)若A,B至少有一个不为零,则a
是等差数列的充要条件是S
A
2B
定义3等比数列,若对任意的正整数
,都有比。定理3等比数列的性质:1)a
a1q
1;2)前
项和S
,当q≠1时,S
a
1q,则a
称为等比数列,q叫做公a
q1时,S
a1;3)如果abc成等比数列,即b2acb≠0,则b叫做ac的等比中项;4)若m
pq,则ama
apaq。定义4极限,给定数列a
和实数A,若对任意的ε0,存在M,对任意的
M
∈N都有a
Aε,则称A为
→∞时数列a
的极限,记作lima
A
→∞
a11q
;当1q
定义5无穷递缩等比数列,若等比数列a
的公比q满足q1,则称之为无穷递增等比数列,其前
项和S
的极限(即其所有项的和)为
a1(由极限的定义可得)。1q
(2)当p
时
k成立时能定理3第一数学归纳法:给定命题p
,若:(1)p
0成立;推出p
对
k1成立,则由(1)(2)可得命题p
对一切自然数
≥
0成立。,竞赛常用定理定理4第二数学归纳法:给定命题p
,若:(1)p
0成立;(2)当p
对一切
≤k的自,然数
都成立时(k≥
0)可推出pk1成立,则由(1)(2)可得命题p
对一切自然数
≥
0成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列x
ax
1bx
2,设它的特征方程x2axb的两个根为αβ1若α≠β,则x
c1a
1c2β
1,其中c1c2由初始条件x1x2的值确定;2若αβ,则x
c1
c2α
1,其中c1c2的值由x1x2的值确定。二、方法与例题1.不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。例1试给出以下几个数列的r