通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）1，0，3，8，15，…。【解】1）a
21；2）a
3
2
；3）a
22
例2已知数列a
满足a1【解】因为a1
1a1a2…a
2a
≥1，求通项a
2
1又a1a222a22
faa111，a3122猜想a
≥13×23×4
1311证明；1）当
1时，a1，猜想正确。2）假设当
≤k时猜想成立。2×1
所以a2当
k1时，由归纳假设及题设，a1a1…a1k121ak1，
111Lkk2ak12×13×2k×k111111即1Lkk2ak1223kk1k1所以kk2ak1所以ak1k1k1k21由数学归纳法可得猜想成立，所以a

11例3设0a1，数列a
满足a
1aa
1a，求证：对任意
∈N有a
1a
所以【证明】证明更强的结论：1a
≤1a1当
1时，1a11a，①式成立；2假设
k时，①式成立，即1a
≤1a，则当
k1时，有
1aak1
111aa21aa≥a11a1a1aak
由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。2．迭代法。数列的通项a
或前
项和S
中的
通常是对任意
∈N成立，因此可将其中的
换成
1或
1等，这种办法通常称迭代或递推。例4数列a
满足a
pa
1qa
20
≥3，q≠0，求证：存在常数c，使得
22a
1pa
1a
qa
cq
0
【证明】a
1pa
1a
1qa
1a
2pa
1a
2qa
1a
2qa
qa
1
22222222qa
1a
a
2qa
1a
pq
1qa
qa
1pa
1a
qa

若a2pa2a1qa10，则对任意
a
1pa
1a
qa
0，取c0即可
2222222若a2pa2a1qa1≠0，则a
1pa
1a
qa
是首项为a2pa2a1qa12，公式为22
q的等比数列。
2所以a
1pa
1a
qa
a2pa2a1qa12q
222取ca2pa1a2qa12
1即可q
2
综上，结论成立。例5已知a10a
15a
24a
1，求证：a
都是整数，
∈N【证明】因为a10a21，所以由题设知当
≥1时a
1a
2
又由a
15a
24a
1移项、平方得
22a
110a
a
1a
10
①
22
当
≥2时，把①式中的
换成
1得a
10a
a
1a
110，即
22a
110a
a
1a
10
②
f因为a
1a
1，所以①式和②式说明a
1a
1是方程x210a
xa
10的两个不等根。由韦达定理得a
1a
110a
≥2再由a10a21及③式可知，当
∈N时，a
都是整数。3．数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
2
1
12…，求S99a1a2…a9942100112×21004
4100
1【解】因为a
a100
100r