高考数学——压轴题跟踪演练系列四——压轴题跟踪演练系列备战2010高考数学——压轴题跟踪演练系列四
1本小题满分14分已知fx
2xax∈R在区间11上是增函数x221的两个非零实根为x12试问x是否存在实数m使得不等式m2tm1x
Ⅰ求实数a的值组成的集合AⅡ设关于x的方程fx
≥x1x2对任意a∈A及t∈11恒成立若存在求m的取值范围若不存在请说明理由本小题主要考查函数的单调性导数的应用和不等式等有关知识考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分14分解Ⅰfx
42ax2x22x2ax2x222x222
∵fx在11上是增函数∴fx≥0对x∈11恒成立即x2ax2≤0对x∈11恒成立设xx2ax2方法一①
11a2≤0
①

1≤a≤1
11a2≤0
∵对x∈11fx是连续函数且只有当a1时f10以及当a1时f10∴Aa1≤a≤1方法二
a≥02
①或
a02
11a2≤0
0≤a≤11≤a≤1或
11a2≤0
1≤a≤0
∵对x∈11fx是连续函数且只有当a1时f10以及当a1时f10∴Aa1≤a≤1Ⅱ由
2xa1得x2ax202x2x
∵△a280
∴x1x2是方程x2ax20的两非零实根x1x2a∴从而x1x2x1x24x1x2a8
2
2
fx1x22∵1≤a≤1∴x1x2a8≤3
2
要使不等式m2tm1≥x1x2对任意a∈A及t∈11恒成立当且仅当m2tm1≥3对任意t∈11恒成立即m2tm2≥0对任意t∈11恒成立设gtm2tm2mtm22方法一g1m2m2≥0②②

g1m2m2≥0
m≥2或m≤2
所以存在实数m使不等式m2tm1≥x1x2对任意a∈A及t∈11恒成立其取值范围是mm≥2或m≤2方法二当m0时②显然不成立当m≠0时m0②g1m2m2≥0或g1m2m2≥0m0
m≥2或m≤2
所以存在实数m使不等式m2tm1≥x1x2对任意a∈A及t∈11恒成立其取值范围是mm≥2或m≤2
2本小题满分12分如图P是抛物线CyC交于另一点QⅠ若直线l与过点P的切线垂直求线段PQ中点M的轨迹方程Ⅱ若直线l不过原点且与x轴交于点S与y轴交于点T试求
12x上一点直线l过点P且与抛物线2
STST的取值范围SPSQ
本题主要考查直线抛物线不等式等基础知识求轨迹方程的方法解析几何的基本思想和综合解题能
f力满分12分解Ⅰ设Px1y1Qx2y2Mx0y0依题意x1≠0y10y20由y
12x2
①
得yx∴过点P的切线的斜率k切x1∴直线l的斜率kl
11k切x1
121x1xx12x1
∴直线l的方程为y方r