2×3×4×．36636393
………………………12分
19．解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．∵E为中点，∴EFBD1．又EF面A1DE，BD1面A1DE，∴BD1面A1DE．……………………………………………………………3分（II）在Rt△ABD中，AB2AD2，可得BD5，∴SBDD1D1
1115×BD×DD1，SA1DD1×A1D1×DD1，2222
设A1到面BDD1的距离为d，则由VA1BDD1VBA1DD1有
A1CAEHB
11dSBDD1ABSA1DD1，33151125即d2，解得d，53232
即A1到面BDD1的距离为（III）连结EC．由AE
124AB，有AE，EB，233
25．……………………………………………8分5
过D作DH⊥EC于H，连结D1H，由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD，
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f∴DD1⊥面ABCD．由三垂线定理知：D1H⊥EC，∴∠DHD1为D1ECD的平面角．Rt△EBC中，由EB
45，BC1，得EC．336，5
又DHECDCBC，代入解得DH∴在Rt△DHD1中，ta
∠DHD1
DD115．DH665
55∴∠DHD1arcta
，即二面角D1ECD的大小为arcta
．…………12分66
解法二：（I）同解法一．………………3分（II）由面ABCD⊥面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB2AD2知：D0，0，0，D10，0，1，A11，0，1，B1，2，0，∴DB1，2，0，DD10，0，1，A1B0，2，1．设面BDD1的一个法向量为
1x1，，z1，1xAEBCyA1zD1

1DB0，x120，即∴
12，，0．1则z10，
1DD10，
∴点A1到面BDD1的距离d
A1B
125．
15
…………………………8分
（III）由（II）及题意知：E1，
242，0，C0，2，0，D1E1，，1，EC1，，0．333
设面D1EC的一个法向量为
2x2，y2，，1
2
2D1E0，x23y210，21则即可得
2，．1432
2EC0，xy0，232
又易知面DEC的一个法向量是DD10，0，1，设D1ECD的大小为θ，则cosθ

2DD1
2DD1

161×16

661，61
得θarccos
661．61
即D1ECD的大小为arccos
661．………………………………………12分61
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f20．解：（I）f′x
aba0，x2x
由题，f′11，得ab1．∴ba1．又切点1，ac在直线xy20上，得1ac20，解得cr