习题11解答
1．设fxyxyx，求fxyf11fxyx1
y
xy
yfxy
解fxyxyx；f111yfxyxx2y21y
yxyxyx
y
fxyxy2x
2．设fxyl
xl
y，证明：fxyuvfxufxvfyufyv
fxyuvl
xyl
uvl
xl
yl
ul
vl
xl
ul
xl
vl
yl
ul
yl
vfxufxvfyufyv
3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）fxy1x2y21
4xy2（2）fxyl
1x2y2
（3）fxy1x2y2z2a2b2c2
xyz
（4）fxyz

1x2y2z2
解（1）Dxyx1y1
y
1
1
O1
x
1
（2）Dxy0x2y21y24x
y
1
1
O
1x
1
f（3）D

x
y
xa
22

y2b2

z2c2
1

zc
a
b
O
a
x
（4）Dxyzx0y0z0x2y2z21
z１
by
O
１y
１x
4．求下列各极限：
（1）lim
1xy
1

0

1
x0x2y201
y1
（2）liml
xeyl
1e0l
2
x1y0
x2y2
10
2（3）lim
xy4
2
lim
xy42
xy41
x0
xy
y0
x0y0
xy2xy4
4
（4）limsi
xylimsi
xyx2
x2y
x2xy
y0
y0
5．证明下列极限不存在：
（1）limxyx0xy
y0
（2）limx0
x2y2
x2y2x
y2
y0
（1）证明如果动点Pxy沿y2x趋向00
则limxylimx2x3；x0xyx0x2x
y2x0
如果动点Pxy沿x2y趋向00，则limxylim3y3y0xyy0y
x2y0
f所以极限不存在。
（2）证明如果动点Pxy沿yx趋向00
则limx0
x2y2x2y2xy2
limx0
x4x4
1；
yx0
如果动点Pxy沿y2x趋向00，则lim
x2y2
lim4x40
x0x2y2xy2x04x4x2
y2x0
所以极限不存在。6．指出下列函数的间断点：
（1）fxyy22x；y2x
（2）zl
xy。
解（1）为使函数表达式有意义，需y22x0，所以在y22x0处，函数间断。
（2）为使函数表达式有意义，需xy，所以在xy处，函数间断。
习题12
1．（1）zxyz1y，z1xyxxyx2yxy2
2zycosxy2ycosxysi
xyycosxysi
2xyxzxcosxy2xcosxysi
xyxcosxysi
2xyy
3zy1xyy1yy21xyy1x
l
zyl
1xy，两边同时对y求偏导得1zl
1xyyx
zy
1xy
zzl
1xyxy1xyyl
1xyxy
y
1xy
1xy
1
2y
1
4zx3
x
yx
x2

x32yxx3y

zy

x2y
xx2
1x3y
u
y
x
y1
z
u

1
x
yz
l

x
u


y
y
xzl
x
5xz
yz
zz2

fuzxyz1uzxyz1uxyzl
xy
6



x1xy2zy1xy2zz1xy2z
21zxyzyxzxx0zxy1zyy0
2zxasi
2axbyzybsi
2axby
zxx2a2cos2axbyzxy2abcos2axbyzyy2b2cos2axby3fxy2r