期望和方差
【答案】（1）p1（2）详见解析3
【解析】（1）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为1，即甲胜乙、甲胜丙且丙10
胜乙概率为1，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．10
（2）依题意丙得分X可以为0，3，6，丙胜甲的概率为3，丙胜乙的概率为2，利
4
3
用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列、数学期望和方差．
【详解】
（1）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为1，10
即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为1，10
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f∴311p1，∴p1
54
10
3
（2）依题意丙得分X可以为0，3，6，丙胜甲的概率为3，丙胜乙的概率为2，
4
3
PX0111，PX331125，PX6326
4312
434312
4312
X
0
3
6
p
1
5
6
12
12
12
∴EX01356617DXEX2EX259
1212124
16
【点睛】
本题考查概率计算及离散型随机变量的分布列、期望与方差，求随机变量及其分布列的
一般步骤：1明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；2利用排
列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；3
按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证；本题属于中等题
20．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，PC平面ABCD，
且AB2，PC6，F是PA的中点
（1）求证：CF平面PDB；（2）求平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值
【答案】（1）证明见解析（2）63
【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，则PO与CF相交，设交点为E，则AC⊥BD，PC⊥BD，BD⊥CF，PO⊥CF，由此能证明CF⊥平面PDB；（2）过点P作PG，使得PGBC，则GP∥AD∥BC，从而二面角ADPBC，即二
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f面角CPGD，在平行四边形ADGP中，过点P作AD的垂线，垂足为H，则∠HPC即所求二面角的平面角，由此能求出平面ADP与平面BCP所成锐二面角的余弦值；【详解】
（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，由于PO，CF平面PAC，所以PO与CF相交，设交点为E，
∵底面ABCD为菱形，∴ACBD，又∵PC平面ABCD，∴PCBD，∴BD平面PAC，又∵CF平面PAC∴BDCF，在△PAC中，∵DAB60，AB2∴AC23，OC3，
CFPF32，PO3，2
cos
FCP



3
22
2



23
62



3
22
2


26
3，si
OPC3
3，3
2
∴cosFCPsi
OPC，又因为两个角都是锐角，∴FCPOPC90，则PEC90，即POCF，∵POBDE，PO、BD平面PAC，∴CF平面PDB（2）过点P作PG，使得PGBC，
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f∵底面r