ABCD为菱形，∴GPADBC，所以二面角ADPBC即二面角CPGD，
在ADGP中，过点P作AD的垂线，垂足为H，则PHPG，又∵PC平面ABCD，∴PCBC∴PCPG，∴HPC即所求二面角的平面角，∵ADPH，ADPC∴AD平面HPC∴ADCH又∵HDC60，DC2∴HCCDsi
60233，
2在△HPC中，PCH90，PC6，HC3，∴PH3，
∴cosHPCPC6，即所求二面角的平面角的余弦值为6
PH3
3
【点睛】
本题考查线面垂直的证明及二面角的计算，掌握找到二面角的方法是解题的关键，属于
中等题
21．已知：椭圆x2y2a2b2
1ab0的离心率为
3，且ab3，过左焦点F作2
一条直线交椭圆于A、B两点，过线段AB的中点M作AB的垂线交y轴于点P
（1）求椭圆方程；
（2）当△PAB面积最大时，求直线AB的斜率
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f【答案】（1）x2y21（2）2
4
4
【解析】（1）根据离心率为3，且ab3，a2b2c2可求椭圆方程；2
（2）设出直线AB方程lABxmy3，利用韦达定理求出AB及中点M坐标，
从而可得直线MP方程lMP，求出P点坐标，再利用点到直线距离公式写出面积，根据
导数求最值．
【详解】
（1）由已知条件可得
caa
b
323
化简解得a2b1c3
a2b2c2

∴椭圆方程为x2y21；4
（2）设lABxmy3Ax1y1Bx2y2，与椭圆联立消去x，
得：m24y223my10，
y1

y2

2m2
3m4

y1y2


1m2
4

AB
1

1m
2

y1y2

4
m2m2

14

又x1x2my1
3my2
383，m24
433m
431
3m
中点Mm24m24，所以lMPxm24mym24，
令x0可得y33m，m24
33m故得点P0m24，到lABxmy
3的距离d4
3m21，m24
所以S△PAB

12
AB
d

12

4
m2m2

14

4
3
m21m24

8
3

m213m242
，
第19页共21页
f令t
m21，则S△PAB8
3
t2
t332
8
1
3
t

6t

9t3
，
构造函数
f
t

t

6t

9t3
，
f
t

t4
6t2t4
27
，
可得t209，ft0t29，ft0
即t3时ft取得最小值，
所以t
m213即kAB
2时，△PAB面积最大4
当△PAB面积最大时，直线AB的斜率为24
【点睛】
本题为直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的基本性质、弦长问题、最值问题等，最值问
题一般利用转化思想转化为函数与导数或均值不等式解决，此类问题一般过程复杂且计
算量较大，属于难题
22．已知函数fx1l
xx
（1）如果当x1时，不等式fxa恒成立，求实数a的取值范围；x1
1
1
1
（2）求证：e2121e2221e2
21
2
N
【答案】（1）a2（2）证明见解析
【解析r