【解析】根据题意利用正弦定理可建立AC与角B的关系，求出B的范围即可得AC范
围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B有关的关系式，
根据B的范围即可求解．
【详解】
在△ABC中，A2B，BC1，
则si
Asi
2B，
由正弦定理可得：BCAC，si
Asi
B
ACBCsi
Bsi
B1，si
Asi
2B2cosB
由ABCπ，可得3BCπ，即BC，333
又角B为三角形内角，
所以
cos
B


12
1
，
AC

2
1cos
B


12
1
，
所以cosB1，2AC
BABC
BA
BC
cosB
BA12
1AC
，
由正弦定理可得：
BAsi
Csi
3Bsi
3B
2AC2si
B2si
B2si
B
si
B

2cos2B1
2si
Bcos2B4cos2B1，
2si
B
2
第11页共21页
f所以可得
4
cos22
B

1


0
32

，
故答案为：

12
1
，

0
32


【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。
15．过抛物线Cy22pxp0的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，
AF2BF2，则p__________【答案】4
3【解析】根据题意画出图形，结合图形设出点A、B的坐标，利用焦点弦公式表示AF、BF，列方程组求出p的值．
【详解】如图所示，
设Ax1y1Bx2y2，
则
AF
x1
p2
2，
BF

x2
p2
1，
且y1AF2，y2BF
所以y12y2；
又y122px1y222px2；
所以y12y222px1x2，
即3y222p；
又y222px2，
第12页共21页
f所以6
px2

2
p
解得
x2

13
；
所以p43
故答案为：43
【点睛】
本题考查抛物线的性质的应用，涉及到焦半径公式的应用，以及弦长关系转化等等，属
于中等题
16．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用．如果随意在每一个匣内
放入一把钥匙，然后把匣子全都锁上．现在允许砸开一个匣子，使得能相继用钥匙打开
其余4个匣子，那么钥匙的放法有______种．
【答案】4
【解析】【详解】
首先，在砸开的匣子中必放有另一个匣子i1的钥匙，在匣子i1中又放有匣子i2的钥匙，
在匣子i2中放有匣子i3的钥匙，在匣子i3中放有匣子i4的钥匙，在匣子i4中放有被砸开
的匣子的钥匙．记这个砸开的匣子为is．这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排
列．反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放钥匙的方法．先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到一种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥r