有极限，并且limgx
x→x0
β≠0，则
8
flimfxx→x0fxαlimx→x0gxlimx→xgxβ
0
极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限。定理3设函数yfgx是由函数yfu与ugx复合而成，fgx在点
x→x0u→u0
x0的某去心邻域内有定义，若limgxu，limfuA，且存在δ0，当00
x∈uxδ00时，有gx
0
≠u0，则
x→x0
limfgxlimfuA
u→u0
例1
下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大：
2x1
si
x1cosx。
x3x29
例2求下面函数极限：
lim
x→1
2x3x5x4
2
lim
x→3
第五节极限存在准则两个
重要极限第六节连续复利
教学目的与要求：教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极限。教学重点（难点）：定理1（夹逼定理）三数列x
、y
和z
，如果从某个号码起成立：1）x
y
z
，并且已知x
和z
收敛，
limyalimxalimz
x→∞2）x→∞
，则有结论：x→∞
定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。一、极限lim
si
x1x→0x
该极限的证明，关键是证不等式si
xxta
x0xπ2如图设单位圆⊙O的渐开线为
⌒
YTBOHACX
9
AB若记∠TOA＝x，并过Ｔ作ＴＨ⊥Ｘ轴于Ｈ，
⌒
ＴＢC切⊙Ｏ且交AB及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则
⌒
fSi
xTHATAT（x）TBTCta
x我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”因扇形面积ＯAT＝
1x的求得，一般是
等分∠ＡＯT成
个等腰△2
AiOAi1i12…
AA0TA
，则
11Si
（x
）
Si
（x
）2211此时，扇形面积ＯATlim∑△AiOAi1∑Si
（x
）xlimSi
（x
）（x
）
→∞22
→∞1显然当limSi
（x
）（x
）1时，扇形面积ＯAT＝x，但令tx
，则该极限为
→∞2
∑△AiOAi1∑要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。二、极限lim1
x→∞
1xex
设A
（11
）
，利用算术和几何不等式关系，得：（11
）……（11
）1（
（11
）1）（
1）
1A
（11
）（）即数列A
单增。另外，设Ｂ
＝
（
1），利用算术和几何不等式关系，得：Ｂ
＝11（
1）11
（212（
2）
≥（12）21
2（14）1
（）则4≥（
1）
（11
）

即数列A
有上界。于是，极限Ⅱ存在，并r