上存在最小值，必有f00，解得1a1．所以a0时，若fx在0上存在最大值和最小值，a的取值范围是01．12分当a0时，（Ⅱ）由得，fx在0a单调递减，a单调递增，在所以fx在0上存在最小值fa1．若fx在0上存在最大值，必有f00，解得a1，或a1．
a所以a0时，fx在0上存在最大值和最小值，的取值范围是1．若
综上，a的取值范围是101．
14分
20（本小题满分13分）（Ⅰ）解：最佳排列A3为110，101，100，011，010，001．（Ⅱ）证明：设A5a1a2a3a4a5，则RA5a5a1a2a3a4，
1
3分
因为tA5RA51，
1
所以a1a5，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4之中有2个0，3个1．按a5a1a2a3a4a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得tA5RA51，
1
从而不存在最佳排列A5．
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7分
f王芝平整理
（Ⅲ）解：由A2k1a1a2a2k1ai0或1i122k1，得
RA2k1a2k1a1a2a2k，
1
RA2k1a2ka2k1a1a2a2k1，
2

R
2k1
A2k1a3a4a2k1a1a2，A2k1a2a3a2k1a1．
R
i
2k
因为tA2k1RA2k11i122k，所以A2k1与每个RA2k1有k个对应位置数码相同，有k1个对应位置数码不
i
同，因此有
a1a2k1a2a1a2ka2k1a2k1a2kk1，a1a2ka2a2k1a2ka2k2a2k1a2k1k1，
，
a1a3a2a4a2ka1a2k1a2k1，a1a2a2a3a2ka2k1a2k1a1k1．
以上各式求和得，Sk12k．
10分．
Sx另一方面，还可以这样求和：a1a2a2ka2k1中有x个0，y个1，S2y设则
11分所以
xy2k12xy2kk1
解得
xkyk1r