所以hx在1a上的最大值是h123aa3令ta23aa3则ta33a20知ta在01上是增函数所以tat14即h14故fx≤ga4ii当a≥1时ga23a故hxx33x2得hx3x23此时hx在11上是减函数因此hx在11上的最大值是h14故fx≤ga4综上当x∈11时恒有fx≤ga492014四川2114分已知函数fxexax2bx1其中ab∈Re271828…为自然对数的底数1设gx是函数fx的导函数求函数gx在区间01上的最小值2若f10函数fx在区间01内有零点证明e2a1解析1由fxexax2bx1有gxfxex2axb所以gxex2a当x∈01时gx∈12ae2a当a≤时gx≥0所以gx在01上单调递增因此gx在01上的最小值是g01b当a≥时gx≤0所以gx在01上单调递减因此gx在01上的最小值是g1e2ab当a时令gx0得xl
2a∈01所以函数gx在区间0l
2a上单调递减在区间l
2a1上单调递增于是gx在01上的最小值是gl
2a2a2al
2ab综上所述当a≤时gx在01上的最小值是g01b当a时gx在01上的最小值是gl
2a2a2al
2ab
f当a≥时gx在01上的最小值是g1e2ab2设x0为fx在区间01内的一个零点则由f0fx00可知fx在区间0x0上不可能单调递增也不可能单调递减则gx不可能恒为正也不可能恒为负故gx在区间0x0内存在零点x1同理gx在区间x01内存在零点x2所以gx在区间01内至少有两个零点由1知当a≤时gx在01上单调递增故gx在01内至多有一个零点当a≥时gx在01上单调递减故gx在01内至多有一个零点所以a此时gx在区间0l
2a上单调递减在区间l
2a1上单调递增因此x1∈0l
2ax2∈l
2a1必有g01b0g1e2ab0由f10有abe12有g0ae20g11a0解得e2a1所以函数fx在区间01内有零点时e2a1考点三导数的综合应用102014课标Ⅰ125分已知函数fxax33x21若fx存在唯一的零点x0且x00则a的取值范围是A2∞B1∞C∞2D∞1答案C112014湖南95分若0x1x21则Al
x2l
x1Bl
x2l
x1Cx2x1Dx2x1答案C122014福建2214分已知函数fxexaxa为常数的图象与y轴交于点A曲线yfx在点A处的切线斜率为11求a的值及函数fx的极值2证明当x0时x2ex3证明对任意给定的正数c总存在x0使得当x∈x0∞时恒有xcex解析1由fxexax得fxexa又f01a1所以a2所以fxex2xfxex2令fx0得xl
2当xl
2时fx0fx单调递减当xl
2时fx0fx单调递增所r