20102011学年第二学期《高等数学B下》期中考试试卷1
同济大学课程考核试卷（期中试卷）20102011学年第二学期
23
若c1

a

bc2

c1

a


b

c
1

c


a
b

12则模c


2

3
年级专业
学号
姓名
任课教师
二（本题9分）计算三重积分Iz1dv其中是由曲面x22y2z20
题号一二三四五六七总分
xOy平面以及平面z2所围成的有界闭区域。
得分
（注意：本试卷共7大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟解答题要求写出解题过程）
一、填空题每小题5分，共
1已知向量a231
25b
分
123

c

212
则向量a

b
在向量c上投影
Prjcab___7_____
2经过三点（310）（141）以及（252）的平面方程为
2x3y13z0或2xy3z50
3函数
fxy具有一阶连续偏导数，
f
11

1
f

x
11

2
f

y
11

3
函数
xyffxyfxy有23
x11
y11
解：xfxfxyfxyfxxyfyfxyfxyfxxy
x11fx11fx11fy11fx112
yfxfxyfxyfyfyfxyfxyfy
y113
4．设D是由曲线yx23与直线xy10所围的有界闭区域，函数fxy在D
上连续，则将二重积分Ifxyd化成先对y再对x的二重积分时
D
I1dxfx1xydy2x23
5．已知ab是两个模都为2的向量，且它们的夹角为
解：
I

2
0
z

1dz

d
Dz


2
0
z2z1dz
2
z4
24

z32
30
1023
其中Dz
x2z2

y2z2
1
2
三．（本题
10
分）讨论函数
f
x
y

2xarcta

1x2y2

0
xy00xy00
在原点（00）的连续性，偏导数以及微分情况，若偏导数存在，则求出函数该点出的各
偏导数，若可微，则写出该点处函数的全微分。
解：limfxylim2xarcta
1f000连续；
xy00
0

f
x
00

lim
x0
fx00
x
lim2arcta
x0
1x

f
y
00

lim
y0
f0y00
y

可偏导；
lim
z

x

0y

lim
x2arcta

1



0
0

0

且dz00dx
可微
四（本题10分）设zzxy由方程x3ysi
yzz确定的函数，求二阶偏导数
2zxy
其中P0为yz1所对应的点
p0
f20102011学年第二学期《高等数学B下》期中考试试卷2
解：P0111Fxyzx3ysi
yzzFx3x2yFyx3cosyzFzcosyz1
zx
Fx
P0
Fz
3x2y
3zx3cosyz
P01cosyz
2y
1cosyz1
P0
P0
zxy
P0

3x21cosy
z3x2ysi
y1cosyz2

z1
zy

32
P0
解：xy2dxdyx2y2dxdy4x2y2dxdy
D
D
D1

1
80
x2dx1x0
dy

1
80
x2
1

xdx

23

或：作变换uv

xx

yy
1u1
1v1
x
y

uv

2
vu
2
1

J

21
2
I


D
v22
dudv

2
1v2dv
1
du
0
0

23

1
2r