2015全国高中数学联赛预赛模拟题5
fx0不同实数根的数目为_____解：因为ffxx3x23x3x22x6x10x3x，所以
1．已知二次函数fxx23x2，则方程f
222432
35，因此原方程有4个不同实根。23注也可以讨论fx0根的分布情况。因为当x时，函数fx单调下降，233当x时，函数fx单调上升，且fx0的两个根为12，所以当x时，函2231数fx12，因此ffx0有两个不同实根；当x时，函数241fx12，因此ffx0也有两个不同实根。综上所述，原方程4有4个不同实根。
有xx3x3x10x10x23x34
2


2．函数ycosxcos2xxR的最小值是解：令tcosx01，则yt2t21．
22

1922t1时，y2t2t12t2，得y2；48221292292当0t时，y2tt12t，得y．48228
当又y可取到
22
故填
22
．
3．若二次方程x2pxq0pqN的正根小于3那么这样的方程有___个解：由p24q0q0知方程的根为一正一负．
22设fxxpxq，则f333pq0即3pq9
由于pqN，所以p1q5或p2q2于是共有7组pq符合题意．4．由三个数字1、2、3组成的5位数中1、2、3都至少出现1次这样的五位数共有_____个
1123解：在5位数中若1只出现1次，有C5C4C4C470个；212若1只出现2次，有C5C3C360个；31若1只出现3次，有C5C220个．则这样的五位数共有150个．
1
f5．设向量OA绕点O逆时针旋转向量OB（－

11235，5）解：设OAm
则OB
m所以2OAOB2m
2
m7923m23112m
711235即解得因此，OAOB5555m2
9
115si
x456．函数fxx090，则fx的最大值与最小值的乘积si
x60
为解：因为fx。答

得向r