、三厂合作在城3建厂，总费用为
730Q1Q2Q3
0712
66Q1
051
L166Q1Q2
051
L25560万元
比较可见方案5最优，这是容易理解的，关键的问题是如果合作建一个污水处理厂，各城镇如何分担这5560万元费用，或者说与分别建厂相比节省的640万元在各城镇间如何分配。从这一例中可以抽象出
人合作的一种简单模型：设
人的集合为I12
，如果I的任一子集S都有一个实函数vS，满足：
v0
vS1S2vS1vS2
（当S1S2时）
则称vS为定义在I上的特征函数。特征函数实质上描述了各种合作产生的效益，也意味着全部合作对象参加合作是最好的。用向量v1v2v
v表示合作后效益的分配，其中iv是分配给第i个合作人的部分。下面讨论分配问题（合作向量）应满足的公理：（1）分配与合作者的编号无关；（2）各人获利之和等于总获利，即ivvI；（3）无贡献者不分配，即若对某一个i，对所有的S，当iSI时成立vSvSi，即iv0；（4）如果
人进行两项合作，则两项合作分别分配与加总一次分配效益相同，即v也为I上的特征函数时，令wvv，则iwiviv。
fShapely首先证明了满足公理（1）（4）的iv是惟一的，并验证了下式是惟一的形式。对固定的i，记Si为包含i的子集构成的集合，则有
iv

SSi
wSvSvSi
其中S是S中的人数，wS现在回到前面的具体例子，令
vS
S1
S

是权因子。
ci
iS
cS
即各城镇单独建厂费用与合作建厂费用之差，则vS是一种特征函数。城镇1应得利计算见下表所示S
vS
vS1vSvS1
10001130
1，2400040021666
1，30002160
1，2，3640250390313130
S
wSwSvSvS1
196
城镇1出资为23001962104（万元），比单独投资节省196万元。同理可以计算出城镇2出资1278万元，比单独投资节省322万元。城镇3出资2178万元，比单独投资节省122万元。
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