习题一12一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dvdtKv，式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离
2
时的速度为vv0e证：
Kx
。其中v0是发动机关闭时的速度。
dvdvdxdvvKv2dtdxdtdx
dvv－Kdx
x1dv∫Kdx∫v0v0v
l

vKxv0
∴vv0e
－Kx
13．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x2ty4t28。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t1s和t2s时质点的位置、速度和加速度。解：（1）由x2t得，tx2，代入y4t82可得：yx8，即轨道曲线（2）质点的位置可表示为：r2ti4t8j
2
2
由vdrdt则速度：v2i8tj由advdt则加速度：a8j则，当t1s时，有r2i4jv2i8ja8j当t2s时，有r
4i8jv2i16ja8j
14．一质点的运动学方程为xt2，t12，x和y均以m为单位，t以s为单位。y（1）求质点的轨迹方程；（2）在t2s时质点的速度和加速度。解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由xt，可得t
2
x代入yt12
整理得：
yx1，即轨迹方程
（2）质点的运动方程可表示为：rt2it12j则：vdrdt2ti2t1j
advdt2i2j
因此当t2s时，有v4i2jmsa2i2jms215．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为sv0t
12bt，其中v0，b都是常量。（1）2
求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b；（3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。解：（1）速率：vdsdtv0bt，且dvdtb加速度：a则大小：a方向：tgθ
vbt2dvv2τ0
0bτ00
0ρdtR
aτa
22

v0bt2b……………………①R
2
2
v0bt2bRv（2）当ab时，由①可得：t0b
1
f（3）当ab时，t
19．汽车在半径为400m的圆形弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10ms，切
1
v0v212，代入sv0tbt可得：s0b22b2vs则运行的圈数N02πR4πbR
2
向加速度的大小为02ms。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
102解：法向加速度的大小a
025ms2ρ400
方向指向圆心总加速度的大小
v2
aa2τa2
0220252032ms2
aτ08α38°40a
则总加速度与速度夹角θ90°α128°40
如图19，ta
α
v0
αα
a

α
g
at
v
图110
110质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0r