其收敛区域：（1）、解（1）；（3）、＜1。’’；（5）、si
2z；，原点到所有奇点
的距离最小值为1，故（3）
f（5）si
2z，

，
＜1
＜∞。
47求下列函数在指定点z0处的泰勒展示：（1），z01；、、（2）解（1）（）’［］’，2＜1，＜∞，z01；
48将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：（1）、（4）、，0＜，0＜＜1，1＜＜∞；（3）、，1＜＜2
＜∞；1＜1，1，（1）
解（1）0＜当1＜
＜1时，
＜∞时，0＜
f（3）

。
，1＜
＜2。
（4）0＜49将解fzfz在0＜fz当第五章＞1时0＜
＜∞时，
。
在z1处展开为洛朗级数＜1与。fz的奇点为z11z22。＞1解析。当0＜＜1时
＜1，fz


53、下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶
f数）：（1）、（6）、；、（2）；，z0，±2i为fz的奇点，因为简单极点，，又；、（3）；、（4）；、（5）；
解（1）fz令所以z0
同理z（2）因（3）令fz±1，±2，…因（）’亦为二阶极点。

，所以z2i为二阶极点，
1，所以z0为二阶极点。，则（都为简单极点。0，所以的零点为zk，k0，
（4）令fz±1，±2，…。因故）’fz
，

，则
的零点为z
k0，
（z…）1…，z0为的三阶极点
的三阶零点，。为又的
2z


0，故z
f一阶零点，即为fz的简单极点。（5）令（6）令fz立奇点。因为可去奇点，又±2，…为55、如果fz，z0为其孤立奇点。因
1，所以z0为可去奇点。，z0和，所以z（）为其孤，所以z0k0，±1，
的一阶零点，即为fz的简单极点。与gz是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则或两端均为的形式，再讨论。］。提示：将［写成
证
设
为
的m阶零点，为gz的
阶零点，则，，在，在0，m≥1，0，
≥1。因而
gz
f当m
时，（1）式
（2）式，当m＞
时，（1）式（2）式0，
当m＜
时，（1）式（2）式∞。57求出下列函数在孤立奇点处的留数：（1）、解（1）令Res［；（2）、；（5）、；（6）、；
，孤立奇点仅有0。0，2］，i］
，0］
（2）z2为简单极点，z±i为二阶极点。Res［Res［，i］。，Res［
。同理可计算
（5）
的孤立奇点为z0，kπk±1，±2，…，其中，z0为
二阶极点，这是由于析r