以方便地导出答案。证明（1）
与海伦在他的著作quotMetricaquot《度量论》中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosCa2b2c22abS12absi
C12ab√1cos2C12ab√1a2b2c224a2b214√4a2b2a2b2c2214√2aba2b2c22aba2b2c214√ab2c2c2ab214√abcabcabcabc
f设pabc2则pabc2paabc2pbabc2pcabc2上式√abcabcabcabc16√ppapbpc所以，三角形ABC面积S√ppapbpc证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2qkp为“隅”，q为“实”。以△、abc表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q14c2a2c2a2b222当P＝1时，△2＝qS△√14c2a2c2a2b222因式分解得116ca2b2b2ca2116cabcabbcabca18Scab2bbca2abac2cppapbpc由此可得：S△√ppapbpc其中p12abc这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。Sc2根号下aabc2c其中cgtbgta根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且ABBC4CD2DA6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边
形根号下papbpcpd（其中p为周长一半，abcd为4边）
代入解得s8√3推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
f设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，pabc2则
S△ABC12aha12ab×si
C12rp
2R2si
Asi
Bsi
C√ppapbpc其中，S△ABC√ppar