2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日8：009：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．
1．设集合Aa1a2a3a4，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B1358，则集合A．2．函数fx
x21的值域为x1
．
3．设ab为正实数，
11≤22，ab24ab3，则logabab
．
4．如果cos5θsi
5θ7si
3θcos3θ，θ∈02π，那么θ的取值范围是
．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD中，已知∠ADB∠BDC∠CDA60°，ADBD3，CD2，则四面．体ABCD的外接球的半径为7．直线x2y10与抛物线y24x交于AB两点，C为抛物线上的一点，∠ACB90°，则点C的坐标为8．已知a
C
36200．

200

1
12L95，则数列a
中整数项的个数为2


．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）设函数fxlgx1，实数abab满足faf
f10a6b214lg2，求ab的值．b1，b2
10．（本小题满分20分）已知数列a
满足：a12t3t∈R且t≠±1，
a
12t
13a
2t1t
1a
2t
1
∈N．
（1）求数列a
的通项公式；（2）若t0，试比较a
1与a
的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为的直线l与椭圆C：示），且P322在直线l的左上方．（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠APB60°，求△PAB的面积．
13
x2y21交于AB两点（如图所364
yPOAxB
f2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日9：4012：10
（本题满分一、本题满分40分）如图，PQ分别是圆内接四边形ABCD的对角线ACBD的中点．若（∠BPA∠DPA，证明：∠AQB∠CQB．D
A
Q
PBC
（本题满分二、本题满分40分）证明：对任意整数
≥4，存在一个
次多项式（
fxx
a
1x
1La1xa0
具有如下性质：（1）a0a1La
1均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意kk≥2个互不相同的正整数r1r2Lrk，均有fm≠fr1fr2Lfrk．（本题满分三、r