2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（B卷）
考试时间：2011年10月16日8：009：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上．
1．设等差数列a
的前
项和为S
，若S2010S11，则S2011．．
2．已知复数z的模为1，若zz1和zz2时z1i分别取得最大值和最小值，则z1z23．设ab为正实数，
1122，ab24ab3，则logabab
．
4．把扑克牌中的A、2、3、…、J、Q、K分别看作数字1、2、3、…、11、12、13，现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出两张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为．（用数字作答）
545．若△ABC的角A、满足（cosAcosC）cosAcosC10，C那么ta

ACta
22
．
6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，M、N分别是BB1、B1C1上的点，MB1NB12，S、P分别是线段AD、MN的中点，则异面直线SP与AC1的距离为．2BE7．在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABAC，若t恒成立，则t的最小值3CF为．8．抛物线y2px
2
pp0上动点A到点B（30）的距离的最小值记为d（p），满2
．
足d（p）2的所有实数p的和为
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2229．（本小题满分16分）已知实数x、z满足：y、实数xyz，xyz1，xyz3，，
求实数x的取值范围．10．本小题满分20分）已知数列a
满足：a12t2tR且t1，（
a
1
2t
11a
N．a
2t
2
（1）求数列a
的通项公式；（2）若t0，试比较a
1与a
的大小．11．本小题满分20分）（已知A1x1y1、2x2y2、3x3y3是抛物线y2pxp0AA
2
上不同的三点，△A1A2A3有两边所在直线与抛物线x2qyq0相切，证明：对不同的i、j
2
∈123，yiyjyiyj为定值．
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