1
1
a
1

S
1

S


1
2

2a
1
1


1a

1
整理得，
a
1
1a
1

1a
2
2a
11
1a
2
a
1
2a
1
1a

2
1a
1
1a
2a

2a
1a
2a

∴数列a
为等差数列．
②a13，
a
1
1a
1
第2页共8页
fa22a115a2a12即等差数列a
的公差为2
a
a1
1d3
122
1
③1a
a
1

12
12
3

12

12
1

12

3

T


12
13

15

15

17

111112
12
3232
3
又当
N时，T


16
，要使得
T


M
对一切正整数
恒成立，只要M
≥
16
，所以存在实数M
使
得T


M
对一切正整数

都成立，M
的最小值为
16
．
三、等比数列
知识要点
1定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q，q0．
2递推关系与通项公式递推关系：a
1qa
通项公式：a
a1q
1推广：a
amq
m
3等比中项：若三个数abc成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且bac，注：b2ac
是成等比数列的必要而不充分条件．
4前
项和公式
S



a1a11
q



1q

q1a1a
q
1q
q1
5等比数列的基本性质，其中m
pqN
①若m
pq，则ama
apaq，反之不成立！
②q
m

a
am
，a
2

a
m
a
m

N
③a
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．
第3页共8页
f④若项数为2
N，则S偶q．S奇
⑤S
mS
q
Sm．
⑥q1时，S
，S2
S
，S3
S2
，仍成等比数列．
6等比数列与等比数列的转化
①a
是等差数列ca

c0，c1是等比数列；
②a
是正项等比数列logca
c0，c1是等差数列；
③a
既是等差数列又是等比数列a
是各项不为零的常数列．
7等比数列的判定法
①定义法：a
1a

q（常数）
a
为等比数列；
②中项法：
a2
1

a

a
2
a
0a
为等比数列；
③通项公式法：a
kq
kq为常数）a
为等比数列；
④前
项和法：S
k1q
（kq为常数）a
为等比数列．
性质运用
1．设f
2242721023
10
N，则f
等于
A．28
17
D
B．28
117
C．28
317
D．28
417
2．已知数列a
是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m
．
70
3．⑴在等比数列a
中，a1a633，a3a432，a
a
1．
①求a
，②若T
lga1lga2lga
求T
．
⑵在等比数列a
中，若a150，则有等式a1a2a
a1a2a29

29，
N成立，类比上述性质，相应的在等比数列b
中，若b191，则有等式
成立．
第4页共8页
f解：⑴①由等比数列的性质可知：
a1a6a3a432又a1a633，a1a6
解得a132r