1中，M是BB1的中点，化简下列各式：
（1）CBBA1；
（2）
AC

CB

12
AA1
；
（3）AA1ACCB．
【答案】（1）CBBA1CA1；
（2）
AC

CB

12
AA1

AM
；
（3）AA1ACCBBA1．


【变式2】在四边形ABCD中，AB＝DC，且ACBD＝0，则四边形ABCD是（）
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fA．矩形【答案】B
B．菱形
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C．直角梯形D．等腰梯形
类型二：空间向量的直角坐标运算
例2．已知空间三点A－2，0，2，B－1，1，2，C－3，0，4．设aAB，bAC．
（1）求3a2b；
（2）求a和b的夹角的余弦值；
（2）若向量kab与ka－2b互相垂直，求k的值．
【思路点拨】根据空间向量直角坐标的相关公式进行运算．
【解析】∵A－2，0，2，B－1，1，2，C－3，0，4，
∴aAB1，1，0，bAC（－1，0，2）．
（1）3a3，3，0，2b－2，0，4，∴3a2b5，3，4．
（2）cosab10010，ab2510
∴a和b的夹角的余弦值为
10．
10
2kab（k，k，0）（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
ka－2b（k2，k，－4），
∵kab⊥（ka－2b），
∴kab（ka－2b）（k－1，k，2）（k2，k，－4）
k－1k2k2－8
2k2k－100
∴k－5或k2．2
举一反三：
【变式1】已知A、B、C三点坐标分别为2，1，2，4，5，1，2，2，3，求点P的坐标使得AP1ABAC．2
【答案】
P

5，12
，0
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【变式2】已知向量a2，4，x，b2，y，2，若a6，a⊥b，则xy的值是（）
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
【答案】A
由题意可知
44

164y
x236，解得2x0

xy

4，或3

xy

4，1
【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0，ACAD0，ABAD0，
则△BCD是A．钝角三角形
【答案】B
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
由题意知，过点A的棱两两垂直，设ABa，ACb，ADc，
则BCBDbacaa20，
故∠CBD为锐角．同理，∠BCD、∠CDB均为锐角．所以△BCD为锐角三角形．类型三：共线和共面向量定理的应用
例3．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA，OFkOB，OGkOC，
OHkOD．求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面AC平面EG．【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点E、F、G、H共面；（2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明．【证明】
（1）OEkOAkOBBAkOBCDkOBODOCkOBkODkOCOFOHOGr