例取，，故与合同．又，则与不相似．5可逆，则有与相似，但反之不真．例，显然，有与相似，而不存在逆矩阵．
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多项式中的反例
多项式是代数学中最基本的对象之一，在进一步学习其他数学科目时也能遇到，
f本章主要讨论数域上的一元多项式，并举出有关反例．1．定理如果，那么就能整的组合，即
fxu1xg1xu2xg2xu
xg
x．
反之不真．即能整除的组合，未必能整除每一个．例而令，，显然但定义15
fxu1xg1xu2xg2x，
．数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数
域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积．2．不可约多项式，则有或．是不可约多项式的限制是有必要的，否则即可举出反例：例显然有但定义16，．不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而．3．若不可约多项式是的重因式（），则是的重因式．反之不真．例则是的2重因式，但不是的3重因式，事实，就不是的重因式．定义17如果一个非零的整系数多项式gxb
x
b
1x
1b0的系数没有令令
px2xxfx
xgxx1
异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式．4．本原多项式不一定是不可约的．例是本原多项式，但是可约的．5．设，是整系数多项式，且是本原的，若，其中是有理系数多项式，则一定是整系数的．我们说，限制为本原的条件不可少，否则就可能有不是整系数的．例而取，
f那么
．
6．爱森斯坦判别法：当fxa
x
a
1x
1a0是一个整系数多项式，存在一个素数使得）））．那么在有理数域上是不可约的．但是当找不到这样的素数，我们能不能就说是可约的．答案是不能的，如有反例．例令，对来说找不到满足条件的素数，但是可约，不可约．
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线性空间中的反例
线性相关性定义15线性空间中向量称为线性相关，如果数域中有个不全为零的数，使．1不能由线性表示，是否一定线性无关？例，，明显的是不能由线性表出，然而线性相关．2若线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反之如何？即两两线性无关，是否全部线性无关？例，，，这里任意两向量线性无关．可是，，即线性相关．所以，两两线性无关，不一定全部线性无关．子空间3子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和．例显然对任意的，
xyzxy000zx000yz
，是实数域．，．
只要，就是r