，，，所以故并不是恒成立的．只要，就有．4定理例设和是数域上的两个矩阵，那么．那么，是否也成立？答案是不成立，存在反例．阶矩阵，，而，故不成立．5阶矩阵，，且，，未必有．例有但是．对称阵中的反例1对称阵之和仍为对称阵，对称阵之积未必是对称阵。例，则，不是对称阵．2实对称阵和对角阵相似，但和对角阵相似的未必对称．例取，当时，取，，，
f，有，即与相似，是对角阵，而不是对称阵．3反对称矩阵是指满足条件的矩阵，那么反对称矩阵之积未必是反对称矩阵．例，均为反对称矩阵．而，当，时，是对称阵，但不是反对称矩阵．正定阵中的反例1正定阵的和还是正定阵，但正定阵的差未必是正定阵．例，都是正定阵，但不是正定阵．2正定阵的积未必是正定阵．例，都是正定阵．而不是正定阵．3是正定阵，则的主对角线上元素都大于零．但反之不真．例，都不是正定阵．正交阵中的反例正交阵2是指满足条件的阶实数矩阵．1我们知道正交阵之积仍为正交阵，那么正交阵之和是不是正交阵？例以下两个阶矩阵，都是正交矩阵，因为，，但
f而
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所以正交阵的和不一定是正交阵．2若是正交阵，则，但反之不真．例，，而，，，都不是正交阵．等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵定义12就说相似于．定义13定义14矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到．数域上矩阵，成为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使．1合同矩阵一定是等价矩阵，但反之不真．例取设是数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，
与等价，因为假设与合同，即存在可逆矩阵，使得．设，则，故
ac10abacaba2c2CACbd01cdbdcdabcd
则，（矛盾），
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f故不存在可逆阵，则与不是合同的．2相似矩阵一等是等价矩阵，但反之不真．例仍取
则与等价．若与相似，则存在可逆阵，使得，又，故与不相似．3相似矩阵未必合同．例，，则取，，可得，即与相似．假设与合同，设则
2a22abbcadac21abBCAC2b2bd10cd2abadbc
那么；；；整理得，；（矛盾），故与不合同．4合同矩阵未必相似．r