两种不同的表示方法．所以，不是直和．
f14
线性变换中的反例
1线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，但反之不真．例例变换就把线性无关的向量组变为线性相关的向量组．在实数域上的线性空间中，线性变换2线性变换的乘法不满足交换律．
的乘积，，而一般说来．为单位变换（恒等变换）3线性变换乘积的指数法则不成立，即一般来说，例线性变换
x1x2x3x12x2x3x32，x1x2x32x1x2x2x3x1
取，则
101211421，
42163436716；
2
2222101232281816；
即成立．4相似矩阵有相同的特征多项式，但反之不真．例，，即有相同的特征的多项式，可是与不相似，这是因为这就是说，只能与相似．定义16设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间．如果中的向量在下的像仍在中，我们就称是的不变子空间，简称子空间5，是线性空间的线性变换．若，则，都是子空间，同样，是子空间反之不真．例而是数域
f都是线性变换．易知，都是子空间；，都是子空间．可是
x1x2x3x1x2x3xx2x2x31
x1x2x3x1x2x2x3x1x2x2x3
因而．
第二章数学分析中的反例
数学分析也是数学专业的一门重要基础课之一是进一步学习数学其他课程的基础．它是一门逻辑性很强的课程，它有许多重要的概念都是用抽象的数学语言来描述的在学习过程中很难理解其中含义因此在学习中经常使用反例来理解学习中时常出现的错误充分理解一些定理和概念．这部分对课本中容易出现错误的概念和定理用反例来加深理解和学习．
21
数列中的反例
1定理3：设，，则）lima
b
lima
limb
ab；


）lima
b
lima
limb
ab；


）．那么，对于两个发散的数列，是否有：（1）之和发散；（2）之积发散，（3）其商发散？答案是不成立，有反例可以说明．例如，1，．因为，，则发散的，是发散的．但是数列
limx
y
lim
1
1


却是收敛的．2，．这两个数列都是发散的，但是数列
limx
y
lim1
11
10


f却是收敛的．3，．这两个数列都发散，但是是收敛的。2定理例数列单r