即举出一个反例．由此看来，对于命题来说，给出证明和构造反例是同等重要的．数学分析中包含了一套抽象且形式化的理论体系，概念难以理解，学习中容易犯一些表象的错误，比如，我们会将一些函数的特定性质通过四则运算用到另一个函数上．反例是解决此类问题最有效的方法．由于数学分析思维的严谨性，定理性质的给出一般都带有一些限制条件，这些条件是不可忽视的．恰当地使用反例，对于深入理解定理的条件，准确掌握概念的本质，可以起到无可比拟的作用．此外，反例对于数学学科的理论发展和完善也起着非常重要的作用．构造反例，可以深化理解基本概念，可以充分掌握定理的本质，可以有效纠正错误的命题或定理；通过构造反例，从反面消除一些易出错的条件，严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质．定理证明中，反例具有同等重要的作用，通过严密的证明才可以肯定一个命题的正确性，而反例即可否定一个命题的正确性．这篇论文的主要内容是举出关于数学中的反例，包括高等代数和数学分析两部分．在举反例的过程中，所涉及到的定理和命题均参照高等代数第三版和数学分析第二版的教材，为了加强对问题的理解，我们举出了一些具有说明性的反例．
f第一章高等代数中的反例
高等代数是数学专业的一门重要基础课程之一为进一步学习其他后续知识奠定了基础，它包括了对多项式、矩阵、线性空间、线性变换的学习．下面列出在学习过程中遇到的需要用反例来判断命题或定理的正确性的例子．
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矩阵中的反例
矩阵是数学中应用广泛的极其重要的概念，在高等代数中，它占着十分重要的地位，它贯穿了整个高等代数的学习．下面就列出矩阵的运算以及不同性质矩阵的之间的关系所运用的反例．矩阵乘积中的反例定义111设，，那么矩阵，其中
cijai1b1jai2b2jai
b
jaikbkj，
k1


称为与的乘积，记为．1我们知矩阵的加法满足交换律，而矩阵的乘法不适合交换律．1有意义，当时，没有意义；2和都有意义，当时，它们乘积是阶数不等的矩阵；3和都是阶的．例则取，
111123AB，211234111132BA122153
故，即矩阵不适合乘法交换律．2矩阵的乘法不满足消去律：，未必有．例显然取，，
f，而．3一般情况下，．例则取，
313164，AB2，3131122r