XYZ方向的位移矢量和相应于体积dV的体力分量。类似地，根据应力边界条件可得面力功WS为
WSxlxymxz
uxylymyz
vxzlyzmz
wdS
S
c
根据散度定理，该面积分可转换为体积分
WS
V
xuxyuxzuxyzxyvyvyzvxyzxzwyzwzwdVxyz
d
根据变分与微分符号可以互换，并注意xy2xyyz2yzzx2zx，则由a、b、c、d式可得
fdV
vv
x
xyyzzxyxyyz
yz
zxzxdV
e
因为方程e反映了固体变形的绝热过程，所以由该式可得
fxxyyzzxyxyyzyzzxzx
具有由下列关系所表达的性质
f
在绝热情况下，方程f右端的表达式就是应变的微分，并且存在一函数U0，
U0ij
ij
ij
由该式可得
415a
U0ijdij
0
415b
函数U0表示由于变形应变而贮存在物体单位体积内的应变势能。采用工程符号上式可写为
U0xU0XYU0yU0yzU0zU0zx
xxy
yyz
zzx
415c
67
f第四章本构方程
当物体为绝热变形时，U0的变分U0与物体内能密度f的变分f相同。满足关系415的函数U称为总应变能密度函数。应变能密度函数的存在也可说明一个等温恒温度过程。实际上说，一个绝热过程可以由物体内经历小而迅速的振动变化来近似表示，反过来等温过程可以由逐渐加载引起物体缓慢变形，且物体的温度与周围物体连续保持平衡在物体内所引起的变化来近似表示。方程415极大地简化了在弹性力学小挠废理论中确定应力分量的问题，因为我们只需寻找一个函数U0代替寻找6个未知函数xyzxyyzzx。一般说来U0是6个应变分量的函数，或者是6个应力分量的函数。如果材料是各向同性的，结果就会更简单，因为主应变方向与应变能密度无关，U0是主应变的函数．于是由方程415，主应力为
U01U02U03
1
2
3
主应力和主应变不受介质质点旋转的影响，即使位移是大的，但只要应变与1相比是小的，方程415也是正确的。
42线弹性r