的方向余弦lm
来表示，而且由于主轴相互正交，并且lm
是单位矢量的分量，所以方向余弦可表示为三个独立角度的函数。这样无穷小微无dV变形所需要的功W为
Uf123dV
411
从方程411可清楚地看出，使一体积元就是说一平行六面体变形所消耗的功不仅依赖于主应变分量123的大小，而且依赖于受到123作用的体元纤维的主方向六面体各面的方向。以上说明体元在不同方向对变形的响应是不同的，当一个物体呈现这种行为的性质称为各向异性，更完整地说，组成该物体的材料是各向异性的。它在不同方向呈现出不同性质对给定力的不同响应。反之，如果材料在各方向的响应都相同对给定力，则称该材料物体为各向同性的。对在各个方向有相同性质的物体使一体元变形所需的功不依赖于该单元的方向性即不依赖于确定主方向位置的角度，因此W仅仅是是主应变123的函数。这样，对各向同性材料，
Uf123dV
123
412
从第三章知，主应变123也可以用应变不变量III，故412式也可写为
UfI1I2I3dV
413
对一般变形理论，方程413比方程412更适用，然而对于小位移理论，方程412的形式是有用的，因为123具有简单的物理意义。由方程413，整个物体变形消耗的功为
UdUfI1I2I3dVVV
414
函数fI1I2I3以及方程411和512中的函数称为应变能函数，或称应
变能密度，它表示相对于不变形状态物体单位体积的变形能。12应力分量与应变能密度函数的关系对于处于弹性小变形的物体，即处于小应变状态的物体，设物体的闭合表面为S，被S所包围的体积为V，假设物体处于变形的平衡状态包括物体处于变形过程中，可以证明所得到的应力分量与应变能密度函数之间的关系保持不变。设W表示变形过程中外力作用于体积V上的功，U表示由变形所引起的体积内能的变化或变分。如果变形是绝热的，则由能量守恒定律导出UW。因此有
UfdV，其中f是弹性变形能函数，因此有
V
66
f第四章本构方程
UfdV，
V
WfdV
V
a
功W是作用于体积V的体力功WB，和作用于表面S的面力功WS之和。由应力状态理论知，功WB为
WBBxuByvBzwdV
V
b
式中uvw和BxByBz分别是在坐标r