，11，10，则3
2
2
_____________；使x13成立的x的取值范围是_____________答案：2
11、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线yx上”这个课题，我们可以分三步进行研
f究：（I）首先选取如下函数：
y2x1，y2x，yx1x1
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：
y

2x
1与其反函数y

x
1
的交点坐标为（－1，－1）
2
y2x与其反函数yx的交点坐标为（0，0），（1，1）
x1
2x
y
x1与其反函数yx21，x0的交点坐标为（1
5，1
5
），（－1，0），
2
2
（0，－1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明。
现在，请你完成（II）和（III）。
解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上
2分
（III）证明：设点（a，b）是fx的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关
于直线y＝x对称，则点（b，a）也是fx的图象与其反函数图象的交点，且有bfa，afb若a＝b时，交点显然在直线yx上
若ab且fx是增函数时，有fbfa，从而有ba，矛盾；若ba且fx是增函数时，
有fafb，从而有ab，矛盾
若ab且fx是减函数，有fbfa，从而ab成立，此时交点不在直线y＝x上；同理，ba
且fx是减函数时，交点也不在直线y＝x上。
综上所述，如果函数fx是增函数，并且fx的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线yx上；
如果函数fx是减函数，并且fx的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x
上。
14分
12、设M是由满足下列条件的函数fx构成的集合：“①方程fxx0有实数根；②
函数fx的导数fx满足0fx1”
（I）判断函数fxxsi
x是否是集合M中的元素，并说明理由；24
（II）集合M中的元素fx具有下面的性质：若fx的定义域为D，则对于任意
m，
D，都存在x0m，
，使得等式f
fm
mfx0成立”，试用这一性质证明：方程fxx0只有一个实数根；
（III）设x1是方程fxx0的实数根，求证：对于fx定义域中任意的x2x3当x2x11且x3x11时fx3fx22
解：（1）因为fx11cosx，…………2分24
所以fx13满足条件0fx1………………3分44
又因为当x0时，f00，所以方程fxx0有实数根0
所以函数
fx

x

si
x
是集合M中的元素…………4分
24
（2）假设方程fxx0存在两个实数根），
f则f0f0，………5r