当
a12时，fx的单调递增区间为－∞，－2a－
a
2a2－a，－2a＋
a
2a2－a，＋∞，单调递减
区间为－2a－
a
2a2－a－2a＋，
a
2a2－a；
当0≤a≤12时，fx的单调递增区间为－∞，＋∞；
当
a0
时
，
fx
的
单
调
递
增
区
间
为
－2a＋
a
2a2－a－2a－，
a
2a2－a
，
单
调
递
减
区
间
为
－∞，－2a＋a
2a2－a，
－2a－

a
2a2－a，＋∞
2证明：fx＝ax2＋2ax＋1ex－2＝aexx2＋2x＋ex－2，
令φa＝aexx2＋2x＋ex－2，
显然当x≥0时，exx2＋2x≥0，
所以当a－17时，φaφ－17＝－exx27＋2x＋ex－2
所以要证当x≥0时，fx0，只需证当x≥0时，
exx2＋2x－7＋ex－2≤0，即证当x≥0时，exx2＋2x－7＋14≥0
令gx＝exx2＋2x－7＋14，
则g′x＝exx2＋4x－5＝x－1x＋5ex，
所以当x∈01时，g′x0，gx在01上单调递减，
当x∈1，＋∞时，g′x0，gx在1，＋∞上单调递增，
f所以当x≥0时，gx≥g1＝14－4e0，从而当x≥0时，fx0
难点题型拔高练三
1．已知函数fx＝xex2＋2kl
x－kx，若x＝2是函数fx的唯一极值点，则实数k的取值范围是

A－∞，e42
B．－∞，2e
C．02
D．2，＋∞
exx－2k2－xx－2ex－kx2
解析：选A由题意可得f′x＝x3＋x＝
x3
，x0，
令f′x＝0，得x＝2或ex＝kx2x0，
由x＝2是函数fx的唯一极值点知ex≥kx2x0恒成立或ex≤kx2x0恒成立，由y＝exx0和y＝
kx2x0的图象可知，只能是ex≥kx2x0恒成立．
法一：由x0知，ex≥kx2，则k≤xex2，
设
exgx＝x2，则
k≤gxmi

exx－2由g′x＝x3，得当x2时，g′x0，gx单调递增；当0x2，g′x0，gx单调递减，所以gxmi
＝g2＝e42，所以k≤e42
法二：ex≥kx2x0恒成立，则y＝exx0的图象在y＝kx2x0的图象的上方含相切，
①若k≤0，易知满足题意；
②若k0，设y＝exx0与y＝kx2x0的图象在点x0，y0处有相同的切线，
y0＝ex0，则y0＝kx20，
ex0＝2kx0，
x0＝2，
解得y0＝e2，k＝e42，
数形结合可知，0k≤e42综上，k的取值范围是－∞，0∪0，e42
＝－∞，e42
2．定义“有增有减”数列a
如下：t∈N，atat＋1，且s∈N，asas＋1已知“有增有减”数列a

共4项，若ai∈x，y，zi＝1234，且xyz，则数列a
共有
A．64个
B．57个
C．56个
D．54个
f解析：选D法一：不妨设x＝1，y＝2，z＝3，则ai∈123i＝1234，所以ai＝1r