2c＝2a－c，得a＝2c，
所以b＝a2－c2＝3c
因为AB＝7，即a2＋b2＝7，即7c＝7，
所以c＝1，a＝2，b＝3，所以椭圆E的标准方程为x42＋y32＝12假设存在直线l，使得F是△BMN的垂心，连接BF，
并延长，如图，则BF⊥MN，MF⊥BN
由1知，B0，3，F10，
所以直线BF的斜率kBF＝－3，3
易知l的斜率存在，设为k，则kBFk＝－1，所以k＝3，设l的方程为y＝33x＋m，Mx1，y1，Nx2，y2，
y＝33x＋m，由x2y2
4＋3＝1，
消去y得13x2＋83mx＋12m2－3＝0，
由Δ＝83m2－4×13×12m2－30得，
－339m339
83m
12m2－3
x1＋x2＝－13，x1x2＝13
—→—→因为MF⊥BN，所以MFBN＝0，
—→
—→
因为MF＝1－x1，－y1，BN＝x2，y2－3，
所以1－x1x2－y1y2－3＝0，
并延长，连接MF，
f即1－x1x2－33x1＋m33x2＋m＋333x1＋m＝0，整理得1－33mx1＋x2－43x1x2－m2＋3m＝0，所以1－33m－8133m－4312m123－3－m2＋3m＝0，
整理得21m2－53m－48＝0，
解得m＝
3或
m＝－1621
3
当m＝3时，M或N与B重合，不符合题意，舍去；
当m＝－16213时，满足－
393m
393
所以存在直线l，使得F是△BMN的垂心，l的方程为y＝33x－162135．已知函数fx＝ax2＋2ax＋1ex－21讨论fx的单调区间；2若a－17，求证：当x≥0时，fx0解：1因为fx＝ax2＋2ax＋1ex－2，
所以f′x＝ax2＋4ax＋2a＋1ex，
令ux＝ax2＋4ax＋2a＋1，
①当a＝0时，ux0，f′x0，所以fx的单调递增区间为－∞，＋∞．
②当a0时，Δ＝4a2－4a2a＋1＝4a2a－1，
当
a12时，Δ0，令
ux＝0，得
－2a－
x1＝
a
2a2－a
－2a＋
，x2＝
a
2a2－a，且
x1x2
所以当x∈－∞，x1∪x2，＋∞时，ux0，f′x0，
当x∈x1，x2时，ux0，f′x0，
所以
fx的单调递增区间为－∞，－2a－
a
2a2－a，
－2a＋
a
2a2－a，＋∞，单调递减区间为
－2a－
a
2a2－a－2a＋，
a
2a2－a
当0a≤12时，Δ≤0，所以ux≥0，f′x≥0，
所以fx的单调递增区间为－∞，＋∞．
f－2a－2a2－a
－2a＋2a2－a
③当a0时，Δ0，令ux＝0，得x1＝
a
，x2＝
a
，且x2x1，
所以当x∈x2，x1时，ux0，f′x0，
当x∈－∞，x2∪x1，＋∞时，ux0，f′x0，
所以
fx
的
单
调
递
增
区
间
为
－2a＋

a
2a2－a－2a－
，
a
2a2－a
，
单
调
递
减
区
间
为
－
∞，－2a＋a
2a2－a，
－2a－

a
2a2－a，＋∞
综上，r