.已知函数fx=x-a3-3x+aa0在-1,b上的值域为-2-2a0,则b的取值范围是
A.03
B.02
C.23
D.-13
解析:选A由题意,得f′x=3x-a2-3=3x-a+1x-a-1.由f′x=0,得x=a+1或x=
a-1,所以当a-1xa+1时,f′x0,当xa-1或xa+1时,f′x0,所以函数fx在a-1,a+
1上单调递减,在-∞,a-1,a+1,+∞上单调递增.又fa+1=-2a-2,fa-1=-2a+2若f-
1=-2a-2,即-1-a3+3+a=-2a-2,则a=1,此时fx=x-13-3x+1,且fx=-4时,x=-1
或x=2;由fx=0,解得x=0或x=3因为函数fx在-1,b上的值域为-40,所以0≤b≤3若f-1
-2a-2,因为a0,所以a-1-1,要使函数fx在-1,b上的值域为-2-2a0,需a+1≤b,此时a
f-1-2a-2,-1∈-1,b,所以
fa-1≤0,
-1-a3+3+a-2a-2,
即
无解.综上所述,b的取值范围是03.
-2a+2≤0,
3.在平面四边形ABCD中,AB=1,AC=5,BD⊥BC,BD=2BC,则AD的最小值为________.解析:设∠BAC=α,∠ABD=ββ∈0,π,则∠ABC=β+π2在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+
fAC2-2ABACcosα=6-25cosα,由正弦定理,得sBi
Cα=si
AβC+π2,即BC=c5ossi
βα在△ABD中,由余弦
定理,得AD2=AB2+DB2-2ABDBcosβ=1+4BC2-4BCcosβ=1+46-2
5cos
α-4
5si
αcosβcos
β=25
-85cosα-45si
α=25-20si
α+θ(其中si
θ=255,cosθ=55),所以当si
α+θ=1,即si
α=55,
cosα=255时,AD2取得最小值5,所以AD的最小值为5
答案:54.椭圆E:xa22+by22=1ab0的右顶点为A,右焦点为F,上、下顶点分别是B,C,AB=7,直线CF交线段AB于点D,且BD=2DA1求E的标准方程;2是否存在直线l,使得l交椭圆于M,N两点,且F恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.
解:1法一:由题意知Fc0,Aa0,B0,b,C0,-b,
所以直线AB的方程为xa+by=1,直线CF的方程为xc-by=1,
xa+by=1,由xc-by=1
得,xD=a2+acc
—→—→因为BD=2DA,所以BD=2DA,
所以—B→D=23—B→A,得a2+acc=23a,
解得a=2c,所以b=a2-c2=3c
因为AB=7,即a2+b2=7,所以7c=7,
所以c=1,a=2,b=3,x2y2
所以椭圆E的标准方程为4+3=1法二:如图,设椭圆E的左焦点为G,连接BG,
由椭圆的对称性得BG∥CF,
f则GFAF=DBDA=2,即GF=2FA,
由题意知Fc0,则GF=2c,
FA=a-c,
所以r