B．是增函数且有最大值C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值解：定义域为0x3，当x3时，Fx最大，故选D．2
y
1ACB
2．填充题本题满分10分，每小题5分⑴如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为Dx，0，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．解：由对称性，先考虑0x1的情况，设ADa，BDb，CDc，则ab2，abc2，且必有acb，于是只要考虑c2b2a2，即1－x1x1－x21x2，解得0x5－2．∴2－5x5－2．x⑵方程coscosx的通解是4x88解：2kπ±x，xkπ，与xmπ．435，在0，24π内不相同的解有
OD1
x
个
88当0k24时，k1，2，，8；当0m24时，m1，2，，14；而当k3，m5及k6，m1035时，解是相同的，故共有814－220个不同的解．
第二试1．本题满分15分下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；⑵若a0，b0，且a≠1，b≠1，则logablogba2．⑶设A、B是坐标平面上的两个点集，Crx，yx2y2r2，若对任何r0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．解：⑴若PQ∥l，则只能作出一个圆过P、Q且与直线l相切；⑵若a1，0b1，则logablogba－2；⑶Ax，yx2y2r2，Bx，y0x2y2r2，于是Cr∪ACr∪B恒成立，但不满足AB．2．本题满分10分已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AEm，AF
，求EFA在直线a上，A在直线b上．解：EFm2
2d2±2m
cosθ．证明见课本．3．本题满分15分如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC1，证4明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于SXYZ表示多边形XYZ的面积．9
4
f1984年全国高中数学联赛
AEFBPMNC
冯惠愚
证明：如图，三等分BC于M、N，若点P在BM上含点M，则由于PE24∥AB，则△CPE∽△CBA．CP∶CB．于是S△PCE．同理，若P在NC上394含点N，则S△BPF．9BP12CP若点P在线段MN上．连EF，设rr，则1－r．BC33BC
AFBEC
S△BPFr2，S△PCE1－r2．∴S△BPFS△PCEr21－r22r2－2r12r－121112152．2232294于是S□AEPF．9故命题成立．
MPN
4．本题满分15分设a
是122232
2的个位数字，
1，2，3，试证：0a1a2a
是有理数．解由于1222
2的个位数字只与1到
的个位数字的平方和有关，故r