边形XYZ的面积．9
4．本题满分15分设a
是122232
2的个位数字，
1，2，3，试证：0a1a2a
是有理数．
222x
－x21x
1x25．本题满分15分设x1，x2，，x
都是正数，求证：x1x2x
．x2x3x
x1
2
f1984年全国高中数学联赛
冯惠愚
1984年全国高中数学联赛试题解答第一试1．选择题本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分－2⑴集合SZargZα，α为常数在复平面上的图形是A．射线argZ2αB．射线argZ－2αD．上述答案都不对
C．射线argZα
解：由于argZ∈02π，故不存在答案B．arg－Z2π－α，故选D．⑵下列四个图形的阴影部分不包括边界满足不等式logxlogxy20的是
y
1
x1y2x

y
x1y2x
y
1
x1y2x
y
1
x1y2x
1
O
1
x
O
1
x
O
1
x
O
1
x
A
B
C
D
解：当0x1时，得1y2x0；当x1时，得y2x1．选D．1⑶对所有满足1
m5的m，
，极坐标方程ρ表示的不同双曲线条数是
1－CmcosθA．15


B．10
C．7

D．6
1212
解：由eCm，若表示双曲线，则e1，由Cm1，可得m、
的不同取值为C55，C510，C44，C46，C33，C22，共有6个不同的值，故选D．⑷方程si
xlgx的实根个数是A．1B．2C．3D．大于3解：作ysi
x及ylgx的图象，当x10时，lgx1．故二者只在0，10内可能有交点．经作图可知，二者在0，π内有一交点，在2π，3π内有一交点．选C．⑸若a0，a≠1，Fx是一个奇函数，则11GxFxx是a－12A．奇函数
x11
B．偶函数
C．不是奇函数也不是偶函数
D．奇偶性与a的具体数值有关
解：GxFx
a1，故G－xGx，且Gx的定义域是Fx的定义域与xx≠0，x∈R的交集，2ax－1
为以原点为对称的区域，故选B．1－x⑹若Fx，则下列等式中正确的是1xA．F－2－x－2－FxC．Fx1Fx
－
B．F－xF1x1－x
D．FFx－x
1－x1－t1－t解：令t，得x，即Ft，经一一验证，知F－2－x－2－Fx，选A．1x1t1t⑺若动点Px，y以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q－2xy，y2－x2的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动
3
f1984年全国高中数学联赛
冯惠愚
B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动3π解：令xcosωt，ysi
ωt．则－2xy－si
2ωtcos－2ωt23πy2－x2－cos2ωtsi
－2ωt．显然－2ωt与ωt旋转方向相反．故选C．2⑻若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是Fx，则函数Fx在其定义域上A．是增函数但无最大值r