步：算出小圆O1的半径
AO1

r
，
OO1

12
AA1

12
h（
AA1

h
也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：OA2

O1A2
O1O2

R2

h22
r2

R

r2h2，解出R2
例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8
（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12BAC120，则此
球的表面积等于
。
（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3AD2AEB60，
则多面体EABCD的外接球的表面积为
。
（4）在直三棱柱
ABC

A1B1C1中，AB

4
AC

6
A

3

AA1

4
则直三棱柱
ABC

A1B1C1的外接球
的表面积为
。
5
f类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠如图11
A
O
H2
D
H1
A
E
C
B
图11
第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；
第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OEOC；
第三步：解
OEH1，算出OH1，在
RtOCH
1
中，勾股定理：
OH
21

CH12

OC
2
例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱
锥PABC外接球的半径为

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为abc，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，
a2b2x2
b
2
c2

c2a2

y2z2

2R2

a2
b2

c2

x2

y22

z2
，
补充：VABCD

abc
16
abc4

1abc3
第三步：根据墙角模型，2Ra2b2c2x2y2z2，2
AyB
x
zx
a
Dyc
z
Cb
图12
R2x2y2z2，Rx2y2z2，求出R，
8
8
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个
截面如图，则图中三角形正四面体的截面的面积是

1题
6
f（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正
三棱锥的体积是（）
A．334
B．33
C．34
D．312
（3）在三棱锥ABCD中，若ABCD2ADBC3ACBD4则三棱锥ABCD外接球的
表面积为
。
（4）在三棱锥ABCD中，ABCD5ACBD6ADBC7则该三棱锥外接球的表面积
为

（5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体r