积为
类型七、两直角三角形拼接在一起斜边相同也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥模型
P
BC
O
A图13
题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接
OPOC，则OAOBOCOP1AB，O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出2
半径）
例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，
则四面体ABCD的外接球的体积为（
）
A．12512
B．1259
C．1256
D．1253
（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD
的外接球的表面积为
．
7
f类型八、锥体的内切球问题
P
1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，EH分别是两个三角形的外心；
E
第二步：求DH1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高；3
A
O
C
第三步：由POE相似于PDH，建立等式：OEPO，解出rDHPD
D
H
B
2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径
图14P
第一步：先现出内切球的截面图，POH三点共线；
第二步：求FH1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；2
第三步：由POG相似于PFH，建立等式：OGPO，解出HFPF
O
A
EH
B
3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
图15
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
G
DFC
第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC
VPABC

13
SABC
r

13
SPAB
r

13
SPAC
r

13
SPBC
r

13SABC

SPAB

SPAC

SPBCr
第三步：解出r
3VPABC
SOABCSOPABSOPACSOPBC
习题：
1．若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，SBSC4，则该三棱锥的外接球半径为（）
A3
B6
C36
D9
2．三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三
棱锥的外接球体积等于

3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等
于

4．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，ABBC，则三棱锥
PABC外接球的半径为

5．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC3，ABBC，则三棱锥
PABC外接球的半径为

6．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC
外接球的半径为

8
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