构建拉格朗日函数，本文得到式（7）。目标函数：maxeL，eHμG约束条件：eLeHE（6）NLA（L，eL，EeL）eLNHA（H，eL，EeL）eLa1aNHBHNLBL（7）模型中政府掌握的教育资源总量E是固定的，eL和eH为相互竞争的关系，对其中任何一方投入的增加必然意味着对另一方投入的减少。而对于低收入集团，eL的增加带来的好处大于eH增加所带来的，因而有：A（L，eL，EeL）eL0，A（L，eL，EeL）EeL反之，对于高收入集团，eL的增加带来的好处小于eH增加所带来的，因而有：A（H，eL，EeL）eL0（9）故式（7）为负值。政府最大化其效用，将调整教育资源的配置直至各集团从每一单位基础教育投入增量中获得的边际效用与集团的寻租投入成反比。推论1：随着集团寻租投入的增加，政府分配给该集团的教育资源也增加，该集团教育资源的边际效用变小。由命题1可知，在各集团家庭数量和对方集团寻租投入不变的情况下，如某一集团的寻租投入增加，则政府会调整eL（也即eH）的大小，使得集团的边际效用与其寻租投入成反比。
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因此，如果集团k增加寻租投入，政府的最佳选择是改变eL的供给使得A（k，eL，EeL）eL比之前小。当kL时，BL增加，A（L，eL，EeL）eL减少。根据上文所述的A（k，eL，eH）函数的性质可知，eL增加，A（L，eL，EeL）eL才会减少。即BL的增加导致eL的增加。当kH时，BH增加，A（H，eL，EeL）eL减少。同理，只有eL减少，EeL增加，A（H，eL，EeL）eL才会减少。即BH的增加导致eL的减少。命题2：若受教育程度能够决定下一代的收入，则随着时间的推移，模型中不同集团的收入差距将扩大。家庭的目标函数和约束条件为：目标函数：maxCkμk约束条件：CkBkYk，Ck≥C（10）考虑最简化的情况，假设不同集团家庭对教育资源A及物质消费Ck（i）带来的效用评价系数相同（即β与σ相同），且两集团的效用函数相同，由于消费的边际效用递减，家庭会在非教育资源的消费之外尽可能将收入用于寻租投入，此时高收入集团的寻租投入要高于低收入集团。因为高收入集团拥有更多的财富和经济资源，在其他条件相同的情况下，高收入集团家庭可以承受将更多的资源用于寻租活动，同时不会过多地降低生活质量。由推论1可知，政府会将更多的教育资源分配给高收入集团，从而其子女的受教育程度更高。而子女的收入又取决于受教育程度，故不同集团的收入差距随着每期博弈的进行而扩大。四、治理教育领域寻租问题的建议本文研究表明，寻租现象的存在会导致教育资源的配置向高收r