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∪V2)也是V的子空间。证由已知条件及维数定理知V1和V2中有一个是零子空间,不妨设V1为零子空间,则(V1∪V2)V2,显然也是V的子空间。21.下列变换中哪些是线性变换?1在M
3





中,对每个A∈M



,规定T(A)PAQ。其中P,Q是两个固定的
阶方阵:
T2T
2在R中,规定T(1,x2,x3))(x1,x1x2,x3);(x2TT3在R中,规定T(1,x2))(x2,x1);(x(注:书上题目没有转置有误)4在Ca,b中,规定T(f(x)fxdx。)
ab
解(1)任意A,B∈M
,任意λ∈R,有T(AB)P(AB)QPAQPBQT(A)T(B),T(λA)P(λA)QλPAQλTA所以T是线性变换;TT(2)设X(x1,x2,x3),Y(y1,y2,y3),2TT(XY)(1y2),x1y1x2y2,x3y3)(x22T而T(X)T(Y)(x1y1,x1x2y1y2,x3y3),显然T(XY)≠T(X)T(Y),所以T不是线性变换;TT(3)设X(x1,x2),Y(y1,y2),则TTTT(XY)(x2y2,x1y1)(x2,x1)(y2,y1)T(X)T(Y),TTT(λX)(λx2,λx1)λ(x2,x1)λT(X)所以T是线性变换;(4)f(x),g(x)∈Ca,b,则T(fg)fxgxdxT(f)T(g)T(λf)fxdxλT(f)所以T是线性变换。,
aabb
80
f《线性代数》第六章习题解答
22.说明xOy平面上变换TA的几何意义,其中
yy000110010;11;0x0;11。0
x
x
(1)A
(2)A
(3)A
(4)A
101
解(1)TAyy0
x
xxyy
此变换关于y轴对称;(2)投影到y轴上;(3)关于直线yx对称;(4)顺时针方向旋转90°。3TT23.在R中,定义T((x,y,z))(xy,xy,z),(1)求T在标准基ε1ε2ε3下的矩阵;TTT(2)求T在基α1(1,0,0),α2(1,1,0),α3(1,1,1)下的矩阵。
1解(1)T(ε1ε2ε3)(ε1ε2ε3)1012α1α2α3(ε1ε2ε3)001则Tα1α2α3(ε1ε2ε3)10
1α1α2α300110
110111
001
110201
200
111
1
110
200
201
1α1α2α3000α1α2α310
110200
r
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