∪V2）也是V的子空间。证由已知条件及维数定理知V1和V2中有一个是零子空间，不妨设V1为零子空间，则（V1∪V2）V2，显然也是V的子空间。21．下列变换中哪些是线性变换？1在M
3





中，对每个A∈M



，规定T（A）PAQ。其中P，Q是两个固定的
阶方阵：
T2T
2在R中，规定T（1，x2，x3））（x1，x1x2，x3）；（x2TT3在R中，规定T（1，x2））（x2，x1）；（x（注：书上题目没有转置有误）4在Ca，b中，规定T（f（x）fxdx。）
ab
解（1）任意A，B∈M
，任意λ∈R，有T（AB）P（AB）QPAQPBQT（A）T（B），T（λA）P（λA）QλPAQλTA所以T是线性变换；TT（2）设X（x1，x2，x3），Y（y1，y2，y3），2TT（XY）（1y2），x1y1x2y2，x3y3）（x22T而T（X）T（Y）（x1y1，x1x2y1y2，x3y3），显然T（XY）≠T（X）T（Y），所以T不是线性变换；TT（3）设X（x1，x2），Y（y1，y2），则TTTT（XY）（x2y2，x1y1）（x2，x1）（y2，y1）T（X）T（Y），TTT（λX）（λx2，λx1）λ（x2，x1）λT（X）所以T是线性变换；（4）f（x），g（x）∈Ca，b，则T（fg）fxgxdxT（f）T（g）T（λf）fxdxλT（f）所以T是线性变换。，
aabb
80
f《线性代数》第六章习题解答
22．说明xOy平面上变换TA的几何意义，其中
yy000110010；11；0x0；11。0
x
x
（1）A
（2）A
（3）A
（4）A
101
解（1）TAyy0
x
xxyy
此变换关于y轴对称；（2）投影到y轴上；（3）关于直线yx对称；（4）顺时针方向旋转90°。3TT23．在R中，定义T（（x，y，z））（xy，xy，z），（1）求T在标准基ε1ε2ε3下的矩阵；TTT（2）求T在基α1（1，0，0），α2（1，1，0），α3（1，1，1）下的矩阵。
1解（1）T（ε1ε2ε3）（ε1ε2ε3）1012α1α2α3（ε1ε2ε3）001则Tα1α2α3（ε1ε2ε3）10
1α1α2α300110
110111
001
110201
200
111
1
110
200
201
1α1α2α3000α1α2α310
110200
r