《线性代数》第六章习题解答
习题六（P251－256）
1已知向量空间的一个基为111
u200在上述基下的坐标。
T
0，21
T
0
1，30
T
1
1，试求
T
解设u1
2
3
x1x2x31
，
12
111111
T
1310
101
011
12
3
1
111
12
11
x1所以x21x3
2
131u1121
0，22
T
111
210101
2验证为11
5
0
T
1
1
T
3，33
1
2为R的一个基，并把
T
3
7，9
8
13用这个基线性表示。
1
213
316≠0，所以α1，α2，α3为R的一个基。2y1y2y3552
3
解因为1
2
31
0
设1
2
3
x1x2，x3213
1
2
3
由A1
2
3
110
312
510→070
230
342
得1
2
3
x1x21x3110
2
3
2321323，1918→0013
72
213
312
230
342
又有A1
2
3
9174
f《线性代数》第六章习题解答
得1
2
3
y1y21y3
2
3
33313223。2
3下列
阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）
阶对称矩阵全体所成之集合S；（2）
阶可逆矩阵全体所成之集合R；（3）主对角线上各元素之和等于零的
阶矩阵全体所成之集合T。解（1）S构成线性空间。因为A，B，C∈S，λ，μ∈R，AB∈S，λA∈S且满足1°ABBA2°（AB）CA（BC）3°零元素为0，满足0AA4°负元素为A，使A（A）05°1AA6°λ（μA）（λμ）A7°λ（AB）ΛAΛB8°（λμ）AλAμA（2）R不构成线性空间，因为若A∈R，但0AO不可逆，即R关于数乘法不封闭。（3）T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？（1）设λr