《线性代数》第五章习题解答
习题五（P213－215）习题五（P213－215）
1．写出下列二次型的矩阵：
1fxyz3x
2
y
2
2zxi2

2
2xyxz8yz
2fx1x2x3x4x1x3x2x43fx1x2Lx

∑


i1
∑

1i1
xixi1

4fx1x2Lx

解
∑
i1
xi2∑xi2
i1
00311200（1）114；（2）1201422102
1（4）1L11
1L1LLLL11。L
1
T
1121111022210111222；（3）；00OOO1001122112
2若二次型fx1x2x3XAX对任意向量x1x2x3恒有fx1x2x30试证明A是零
T
矩阵解取X100TX010TX001T等三个向量代入XAX0则二次型的矩阵
T
a11Aa21a31
a12a22a32
a13a23的所有元素aij0i123j123从而有A0a33
3设AB是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量x有XAXXBX成立，试证明：AB证：设Xx1x2Lx
Aaij
×
Bbij
×
则XAX中的xixj的系数aijaji2aijXBX中xixj的系数为bijbji2bij比较xixj的系数知aijbijij12L
所以AB4．试证明：不可能有实数矩阵C
abT使Ccd
1010101001C01即01与01是
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f《线性代数》第五章习题解答
不合同的证
ab用反证法若cd
与

10ab1010则推得b2d21这是不可能的所以01cd0101
10是不合同的01A0C与0B0
0也D
5设ABCD均为ｎ阶对称矩阵且AB是合同的CD是合同的试证明是合同的证设PAPBQCQD则
P0A0P0B0Q0C0Q0

0A0C所以矩阵0B与矩阵0D
0是合同的D
6用正交变换法把下列二次型化为标准形
221fx124x2x34x1x28x1x34x2x32222fx12x2x3x42x1x22x3x42x1x42x2x3
解
221正交变换矩阵为Q022
012正交变换矩阵为Qr