性、唯一性问题、大小问题等有时可以尝试反证法．
例2－12015浙江卷已知数列a
满足a1＝12且a
＋1＝a
－a
2
∈N．
1证明：1≤aa
＋
1≤2
∈N；
2设数列a2
的前
项和为S
，证明：2（
1＋2）≤S
≤2（
1＋1）
∈N．
分析：1先由已知关系式判断数列为递减数列，从而确定a
的范围，再把等式变形为a
＋1＝a
1－a
，利用这一递推数列把a
表示出来，二者相除证明．
2把a
＋1＝a
－a
2变形为a
2＝a
－a
＋1，利用消项法表示出S
，利用不等式性质构造要证明的不等式，使问题解决．
解析：1由题意得a
＋1－a
＝－a
2≤0，即a
＋1≤a
，
故a
≤12
由a
＝1－a
－1a
－1得
a
＝1－a
－11－a
－2…1－a1a1＞0
f由0＜a
≤12得aa
＋
1＝a
－a
a2
＝1－1a
∈1，2，即1≤aa
＋
1≤22由题意得a2
＝a
－a
＋1，所以S
＝a1－a
＋1①由a
1＋1－a1
＝aa
＋
1和1≤aa
＋
1≤2得1≤a
1＋1－a1
≤2，所以
≤a
1＋1－a11≤2
，因此2（
1＋1）≤a
＋1≤
＋12
∈N．②由①②得2（
1＋2）≤S
≤2（
＋11）
∈N．例2－2在数列a
中，a1＝1，a
＋1＝ca
＋c
＋12
＋1
∈N，其中实数c≠01求a
的通项公式；2若对一切k∈N有a2ka2k－1，求c的取值范围．分析：1可先归纳猜出a
，再用数学归纳法证明；还可以将等式化为ac
＋＋11＝ac
＋2
＋1，利用累加法求通项．2转化为函数恒成立问题，分类讨论求解．解析：1方法1由a1＝1，得a2＝ca1＋c23＝3c2＋c＝22－1c2＋c，∴a3＝ca2＋c35＝8c3＋c3＝32－1c3＋c2，a4＝ca3＋c47＝15c4＋c3＝42－1c4＋c3，猜测a
＝
2－1c
＋c
－1，
∈N
f下用数学归纳法证明．当
＝1时，等式成立；假设当
＝k时，等式成立，即ak＝k2－1ck＋ck－1，则当
＝k＋1时，ak＋1＝cak＋ck＋12k＋1＝ck2－1ck＋ck－1＋ck＋12k＋1＝k2＋2kck＋1＋ck＝k＋12－1ck＋1＋ck，综上，a
＝
2－1c
＋c
－1对任何
∈N都成立．方法2由原式得ac
＋＋11＝ac
＋2
＋1．令b
＝ac
，则b1＝1c，b
＋1＝b
＋2
＋1，因此对
≥2，有b
＝b
－b
－1＋b
－1－b
－2＋…＋b2－b1＋b1＝2
－1＋2
－3＋…＋3＋1c＝
2－1＋1c，因此a
＝
2－1c
＋c
－1，
≥2又当
＝1时上式成立，因此a
＝
2－1c
＋c
－1，
∈N2由a2ka2k－1，
f得2k2－1c2k＋c2k－12k－12－1c2k－1＋c2k－2，
因为c2k－20，
所以4c2－ck2＋4ck－c2＋c－10对k∈N恒成立．
记fx＝4c2－cx2＋4cx－c2＋c－1
下面分三种情况讨论：
①当c2－c＝0即c＝0或c＝1时，
代入验证可知只有c＝1满足要求．
②当c2－c0时，
抛物线y＝fx开口向下，
因此当正整数k充分大时，fx0r