．31
过E作EFBC于F，易知△ACD≌△DFE，△EFB∽△ACB
CD
设EFx，则BE2x，AE22x，DE21x，
A
F
BE
fDFAC1，故12x221x2，即x24x10又0x1，故可得
x23
故BE2x423
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数abc满足abc1，1111，则abcbcacab
abc____．
【答】0
由题意知1111，所以12c12a12b
12a12b12b12c12a12c12a12b12c
整理得22abc8abc，所以abc0
2．使得不等式9
8对唯一的整数k成立的最大正整数
为
．
17
k15
【答】144
由条件得7k8，由k的唯一性，得k17且k18，所以
8
9

8

9
2k1k1871，所以
144

9872
当
144时，由7k8可得126k128，k可取唯一整数值1278
9
故满足条件的正整数
的最大值为144
3．已知P为等腰△ABC内一点，ABBC，BPC108，D为AC的中点，BD
与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则PAC
．
【答】48
由题意可得PEAPEBCEDAED，
B
而PEAPEBAED180，
所以PEAPEBCEDAED60，
从而可得PCA30
又BPC108，所以PBE12，从而ABD24
所以BAD902466，
PAE1BADCAE1663018，
2
2
所以PACPAECAE183048
EP
C
D
A
4．已知正整数abc满足1abc，abc111，b2ac，则b
．
【答】36
f设ac的最大公约数为acd，aa1d，cc1d，a1c1均为正整数且a1c11，a1c1，则b2acd2a1c1，所以d2b2，从而db，设bb1d（b1为正整数），则有b12a1c1，而a1c11，所以a1c1均为完全平方数，设a1m2c1
2，则b1m
，m
均为正整数，且m
1，m
又abc111，故da1b1c1111，即dm2
2m
111注意到m2
2m
1222127，所以d1或d3若d1，则m2
2m
111，验算可知只有m1
10满足等式，此时a1，
不符合题意，故舍去
若d3，则m2
2m
37，验算可知只有m3
4满足等式，此时a27b36c48，符合题意
因此，所求的b36
三、（本题满分20分）设实数ab满足a2b21bb2a40，ab1b8，求11的值．
a2b2解由已知条件可得a2b2ab240，abab8
设abx，aby，则有x2y240，xy8，
…………5分
联立解得xy26或xy62
………10分
若xy26，即ab2，ab6，则ab是一元二次方程t22t60的两
根，但这个方程的判别式2224200，没有实数
根；
……………
15分
若xy62，即ab6，ab2，则ab是一元二次方程t26t20的r