2014年全国初中数学竞赛试题和答案解析
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知
x
y为整数，且满足1x

11yx2

1y2



23
1x4

1y4
，则
x

y
的可能的值
有（）A1个【答】C
B2个
C3个
D4个
由已知等式得
xyxy

x2yx2y2
2

23

x4y4x4y4
，显然xy均不为
0，所以xy＝0
或
3xy2xy
若
3xy

2x

y
，
则
3x
23y

2

4
又
x
y
为整数，
可求得
x

y
1，
或
2

xy

2，
所以
1
x

y

1
或
x

y

1
因此，xy的可能的值有3个
2．已知非负实数xyz满足xyz1，则t2xyyz2zx的最大值为
（）
A．47
【答】A
B．59
C．916
D．1225
t2xyyz2zx2xyzyz2xyz1yz24
2x1x11x27x23x17x324，
4
424477
易知：当x3，yz2时，t2xyyz2zx取得最大值4
7
7
7
3．在△ABC中，ABAC，D为BC的中点，BEAC于E，交AD于P，已知
BP3
，
PE1
，
则
AE
＝
（）
A．62
B．2
C．3
D．6
【答】B
因为ADBC，BEAC，所以PDCE四点共圆，所以BDBCBPBE12，
又BC2BD，所以BD6，所以DP3
f又易知△AEP∽△BDP，所以AEPE，从而可得BDDP
AEPEBD162
DP
3
4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是
（）
A．12
【答】B
B．25
C．23
D．34
若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的
数字有相同的，有3×4＝12种取法所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20
种取法
要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，
6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字
可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种
因此，所求概率为82205
5．设t表示不超过实数t的最大整数，令tt
t已知实数x满足x3

1x3
18，
则x1x
（）
A．12
【答】D
B．35
C．1352
D．1
设
x
1x

a
，则
x3

1x3

x
1x2x

1x2
1

x
1xx
12x
3
aa2
3
，
所以aa2318，因式分解得a3a23a60，所以a3
由x13解得x135，显然0x1011，所以x11
x
2
x
x
6．在△ABC中，C90，A60，AC1，D在BC上，E在AB上，使
得△ADE为等腰直角三角形ADE90则BE的长为
（）
A．423
【答】A
B．23
C．1312
Dr