cosγα1，cosαβcosγβ1，cosαγcosβγ1，
6
f∴cosβαcosγβcosγα
∵0＜α＜β＜γ＜2π，∴βα，γα，γβ∈

又βα＜γα，γβ＜γα，只有βαγβ∴γα
另一方面，当βαγβ
，有βα
，γα

x∈R，记xα0，由于三点cosθsi
θ，cosθsi
θ，cosθsi
θ构成单位圆xy1上正三角形cosθ0即
22
的三个顶点，其中心位于原点，显然有cosθcosθcosxαcosxβcosxγ0
10解：∵
，即

又AB1，AD⊥面ABC，∴DC
，等号当且仅当ADBC
1时成立，这时
11解：设正方形的边AB在直线y2x17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为Cx1y1、Dx2y2，则CD所在直线l的方程y2xb，将直线l的方程与抛物线方程联立，得
2
令正方形边长为a，则ax1x2y1y25x1x220b1①
222
在y2x17上任取一点65，它到直线y2xb的距离为a，∴
②
①、②联立解得b13，b263∴a80，或a1280
2
2
7
f∴

12解：∵方程
的非负整数解的个数为

而使x1≥1，xi≥0i≥2的整数解个数为
现取m7，
可知，k位“吉祥数”的个数为Pk

∵2005是形如2abc的数中最小的一个“吉祥数”，且
，
，
，对于四位“吉祥数”1abc，其个数为满足abc6的非负整数解个数，即个，∴2005是第172828165个“吉祥数”，即a652005从而
65，5
325
又
，而
，
∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52000∴第325个“吉祥数”是52000，即a5m52000三、解答题本题满分60分，每小题20分13证明：1由题设得a15，且a
严格单调递增将条件式变形得，
两边平方整理得
，①
∴
②
①②得a
1a
a
1a
17a
0∵a
1＞a
，∴a
1a
17a
0
8
f③
由③式及a01，a15可知，对任意
∈N，a
为正整数……10分
2将①两边配方，得
，∴
④
记由于
，
，从而∴④式成立∴a
a
11是完全平方数……20分
，
14解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的方法有种……5分
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧和劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1，x2，…，xk是依次排列于这段弧上的小球号码，则1x1x1x2…xk9≥1x1x1x2…xk9198上式取等号当且仅当1＜x1＜x2＜…＜xk＜9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列因此S最小2816……10分
由上知，当每个弧段上的球号1x1x2…xk9r