2020年全国高中数学联合竞赛
一试试题参考答案及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0
分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中
间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数fx54xx2在2上的最小值是2x
A．0
B．1
C．2
D．3
（C）
解当x2时，2x0，因此
144xx21
fx
2x2
12x
2x
2x
2x
2，当且仅当12x时上式取等号．而此方程有解x12，
2x因此fx在2上的最小值为2．
2．设A24，Bxx2ax40，若BA，则实数a的取值范围为
A．12
B．12
C．03
D．03
（D）
解因x2ax40有两个实根
ax12
4
a24
，x2

a2
4a2，4
故
B
A
等价于
x1

2
且
x2
4
，即
a2

4a22且a
4
2
a24
4
，解之得
4
0a3．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对
方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为1，
3
3
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为
（B）
A．24181
B．26681
C．27481
D．670243
解法一依题意知，的所有可能值为2，4，6
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22125．339
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对
f下轮比赛是否停止没有影响．从而有
P44520，9981
P25，9
P64216，981
故E25420616266．9818181
解法二依题意知，的所有可能值为2，4，6
令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表示乙在第k局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
P

2

PA1A2

PA1A2

59
，
P4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4PA1A2A3A4
223113220，333381
P

6

PA1A2A3A4

PA1A2A3A4

PA1A2A3A4

PA1A2A3A4

4221233

1681
，
故E25420616266．9818181
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的
体积之和为
（A）
A．764cm3或586cm3
B．764cm3
C．586cm3或564cm3
D．586cm3
解设这三个正方体的棱长分别为abc，则有6a2b2c2564，a2b2c294，
不妨设1r