距离解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离d∴设F
xy4z118
1xy4z123x22xy3y24z2Fxxy4z16x2y0Fxy4z16y2x01yxy4F4xy4z140得：z1zF3x22xy3y24z016


∵驻点唯一
∴
dmi

28
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
6x2y6y2x4平面xy4z1的法矢量
1114
6x2y6y2x4当
∥
1时，即11411得：xyz164111∵在点处切平面平行已知平面4416
1112∴点到平面距离最短，dmi
44168
f例2、在曲面z2x2y2位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。∵曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：
2xX2yYZ4z
即
XYZ1，4z4z4z2x2y
∴
34z四面体体积V
24xy
故令
F3l
4zl
xl
yλx2y2z2
1Fxx2x01Fy2y0y30Fz4z22Fxyz20
xyz122


由
得：
∵驻点唯一∴
22221为所求点。
f例3、在第一象限内，过椭圆曲线3x22xy3y21上任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：
Yy3xyXxx3y
Yx3yX3xyyx3yx3xy
切线与两坐标轴的截距分别为x
x3yy3xyy3xyxx3y
1x3y3xy111Sxyyx23xyx3y2x3y3xy
若要使S最小，只要x3y3xy最大故设
Fx3y3xyλ3x22xy3y21
Fx6x10y6λx2λy0Fy10x6y2λx6λy0F3x22xy3y210λ
xy122


由
得：
∵∴
驻点唯一
smi

14
例4、P212例532533
f第六章多元函数的积分10二重积分1、定义P225
0
fxydlimf
D1


2、性质
D
P226
其中d表示平面区域D的面积
fxydfD
D
，r