二元函数的极值与最值解读
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f二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点现对二元函数的极值与最值的求法总结如下
１．二元函数的无条件极值
1）二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点对于驻点可用极值的充分条件判定。
（2）二元函数取得极值的必要条件：设zfxy在点x0y0处可微分
且在点x0y0处有极值，则fxx0y00fyx0y00即x0y0是驻点。
3）二元函数取得极值的充分条件：设zfxy在x0y0的某个领域内
有连续上二阶偏导数，且fxx0y0fyx0y00令fxxx0y0A，
fxyx0y0B，fyyx0y0C，则
当B2AC0且A0时，fx0y0为极大值
当B2AC0且A0fx0y0为极小值；
B2AC0时x0y0不是极值点。
注意当B2－AC０时，函数zf（ｘｙ在点x0y0可能有极值也可能
没有极值，需另行讨论例1求函数ｚx3y２２ｘy的极值．
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点先求出一阶偏导，再令其为零
确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值【解】先求函数的一、二阶偏导数
zx

3x2

2y

zy

2y

2x
2zx2

6x
，
2z2
xy
2z2y2
再求函数的驻点令
zx

0，
zy

0，得方程组
3x22y
2y02x0
求得驻点0，０、（2，2）33
利用定理2对驻点进行讨论：
f１对驻点00，由于A0Ｂ＝2C2Ｂ2AC0故00不是函
数zf（xy的极值点．
2对驻点（2，2）由于Ａ4，B－2，C２Ｂ2－ＡC4033
则f（2，2）4为函数的一个极小值
3327
且A0
例２：（2004数学一）设ｚｚx，y）是由x26xy10y22yzz2180确定
的函数，求zzxy的极值点和极值【分析】本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】因为x26xy10y22yzz2180所以
2x6y2yz2zz0，xx
6x20y2z2yz2zz0yy
令
zxz

00
y
得
x3y03x10yz0
故
x3y

z

y
将上式代入x26xy10y22yzz2180可得
x9

y

3
z3
x9
或

y

3
z3
由于
22y2z2z22z2z0，
x2x
x2
62z2y2z2zz2z2z0xxyyxxy
202z2z2y2z2z22z2z0，
yyy2y
r