4、二元函数的极值、最值10极值定义P208
fx、yfx

fx、yfx0、y0
00
、y
fx、y在x0、y0
、y为极小值fx、y0有极限值fx、y0
fx0、y0为极大值
00
x00y00
fx
驻点极值点，需判别
x0、y0A、fxyx0、y0B、fyyx0、y0C设fxx
B2AC
00


fx、y
非极值不定



A0000A0
极大值极小值
例1、求zx3y33xy的极值
6x，3x23y，fy3y23x，fxx解：fx
3，fyy6yfxy
0fx令0fy
3x23y023y3x0
y4y0
y0y1
得驻点00，11




2
在00，B2AC003090∴f00非极值




11
，B2AC113360
2
∴11为极值点又A1160∴f111




为极小值
f例2、求zx2y5xy在闭区域D：x0，y0，
xy4的最大，最小值。
xy103x2y，fyx25x2y解：fx
xy103x2y0令2x5x2y0
x（在D内）y
5254
5555625在D的内部函数只有一个驻点，f242464
在边界x0，f0在y0，f0
在xy4，zx24x5x4xx24x4x2x3
dz8x3x20dx
得：x比较z
488，即x，y为驻点333
84256z3327
得最大值z
625256，z0，z6427
625，最小值z064在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
例3、求原点到曲线xy0的最大距离此题即在条件xy0下求zx2y2的最小值问题



f20条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件xy0下zfxy的极值令Ffxyxy称fxy为目标函数为拉格朗日常数
0Fx0FyF0










解得的xy为可能的极值点


例1、求曲面4z3x22xy3y2到平面xy4z1的最短r