△BCE∽△GAE∴，CEAGAE105
即
310136S△AFCCFAGAG325
2
例5如图，△ABC内接于⊙O，BC4，S△ABC63，∠B为锐角，且关于x的方程x4xcosB10有两个相等的实数根D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F（1）求∠B的度数；A（2）求CE的长D分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意F线段的转化
OE
2
解：（1）∵关于x的方程x4xcosB10有两个相等的实数根，
11∴Δ（4cosB）40∴cosB，或cosB（舍去）22
20
B
H
C
又∵∠B为锐角，∴∠B60（2）点A作AH⊥BC，垂足为HS△ABC
110BCAHBCABsi
6063，解得AB622
0
在Rt△ABH中，BHABcos606×
1303，AHABsi
606×33，∴CHBCBH431在Rt△ACH中，22
0
ACCH27128∴AC±27（负值舍去）∴AC27连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B∠ADC180，
22
∴∠ADC120又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC60∠EAC又∵∠AEC∠B60，∴∠AEC∠EAC，∴CEAC27
000
例6已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D如果CE2BE，22且AC、BC的长是关于x的方程x3（r2）xr40的两个实数根求（1）AC、BC的长；（2）CD的长分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC2BC又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算C解：（1）∵CE切⊙O于C，∴∠ECB∠A又∵∠E是公共角，∴△ECB∽△EAC，
BCBE1，∴AC2BC由AC、BC的长是关于x的方程x2ACCE2
2
A
DO
2
B
E
3（r2）xr∴BC4，AC8∠CBD
40的两个实数根，∴ACBC3（r2）AC；BCr4，解得r6，0（2）CO并延长交⊙O于F，连结AF，则∠CAF90，∠CFA
F
f0
∵∠CDB90∠CAF，∴△CAF∽△CDB，
ACCFACBC8×48∴CDCDBCCF123
说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试例7如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC∠B（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，ACCE∶EB6∶5，AE∶EB2∶3，求AB的长和∠FCB的正切值P00C解：（1）∵AB是⊙O的直径r