体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CP＝m试确定m的值使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°
f解建立如图所示的空间直角坐标系，则A100，B1，10，P01，
m，C010，
D000，B1111，D10，01．则B→D＝－1，－10，B→B1＝001，A→P＝－11，m，A→C＝－110．又由A→CB→D＝0，A→CB→B1＝0知，A→C⊥B→D，A→C⊥B→B1，则A→C为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
→→
→→APAC
2
则si
θ＝cos〈AP，AC〉＝A→PA→C＝
2＋m22
2
3
6
依题意得
2＋m2
＝si
60°＝2
2
，解得
m＝
3

故当m＝36时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°
19．16分如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
1求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；
2在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
解
→→→设正方体的棱长为1如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立
空间直角坐标系A－xyz
1依题意，得B100，E0，1，12，A000，D010，所以B→E＝－1，1，12，A→D＝010．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以A→D是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，
→→则si
θ＝B→BEEAA→DD＝23×11＝23故直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为23
f2在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE
证明如下：依题意，得A1001，B→A1＝－101，
B→E＝－1，1，12
设
＝x，y，z是平面A1BE的一个法向量，

B→A1＝0，则由
B→E＝0，
－x＋z＝0，得－x＋y＋12z＝0
所以x＝z，y＝12z取z＝2，得
＝212．
设F是棱C1D1上的点，则Ft110≤t≤1．→
又B1101，所以B1F＝t－110．而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BEB→1F
＝0t－110212＝02t－1＋1＝0t＝12F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点FC1D1的中点，使B1F∥平面A1BE20．16分如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH1求证：AB∥GH；2求二面角DGHE的余弦值．1证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，
又EF平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD，
又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH，
又EF∥AB，
所以AB∥GH
f2解方法一在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ，
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB，
又BPr