为线段AC和AB上的动点不包括端点，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为______．答案1，1
5解析以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，
f则Ft1000＜t1＜1，E01，12，G12，01，D0，t200＜t2＜1．
→
1→1
所以EF＝t1，－1，－2，GD＝－2，t2，－1．
1因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜2
→
→
又DF＝t1，－t20，DF＝
t21＋t22＝
5t2－252＋51，从而有
1≤DF＜15
二、解答题本大题共6小题，共90分15．14分已知空间三点A－202，B－112，C－304．设a＝A→B，b＝A→C，1求a和b的夹角θ的余弦值；2若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解因为A－202，B－112，C－304，a＝A→B，b＝A→C，所以a＝110，b＝－102．1cosθ＝aabb＝－12＋×0＋50＝－1100，
即
a
和
b
的夹角的余弦值为－
1010
2因为ka＋b＝k110＋－102＝k－1，k2，
ka－2b＝k＋2，k，－4，且ka＋b⊥ka－2b．
所以k－1，k2k＋2，k，－4＝k－1k＋2＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，
则k＝－52或k＝2
16．14分已知O→A＝102，O→B＝220，O→C＝012，点M在直线OC上运动，当M→AM→B取
最小时，求点M的坐标．
解设O→M＝λO→C＝0，λ，2λ，则M→A＝1，－λ，2－2λ，
M→B＝22－λ，－2λ，
∴M→AM→B＝2－λ2－λ－2λ2－2λ
＝5λ2－6λ＋2＝5λ－352＋15，
∴当λ＝35时，M→AM→B最小，
此时点M的坐标为M0，35，65．
17．14分如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
fPA＝AD，AB＝2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且EPDE＝BFAF＝λλ＞0．1判断EF与平面PBC的关系，并证明；2当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明你的结论．解1EF∥平面PBC，证明如下，如图，以点A为原点建立如图所示
的空间直角坐标系，
设AD长为1，则A000，B2，00，C2，10，D010，P001，
由EPDE＝BFAF＝λλ＞0得
E0，λ，1，F2，00，1＋λ1＋λ1＋λ
所以E→F＝2，－λ，－1，B→C＝010，1＋λ1＋λ1＋λ
P→B＝2，0，－1，
y＝0，设面PBC的法向量
＝x，y，z，则
2x－z＝0
所以取
＝10，2；由于
E→F＝0，所以
⊥E→F，因为EF平面PBC，所以EF∥平面PBC
2当λ＝1时，DF⊥平面PAC证明如下：
设平面PAC的法向量为m＝x，y，z，由于A→C＝2，10，A→P＝001，则2x＋y＝0，z＝0
不妨取m＝1，－2，0，又D→F＝22，－10，m＝2D→F，
所以DF⊥平面PAC
18．16分如图，在棱长为1的正方r